Algebra Esempi

$5 x^{2} - 4 y^{2} + 80 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

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Passaggio 1.1

Sottrai $80$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 x^{2} - 4 y^{2} = - 80$

Passaggio 1.2

Inverti il segno su ogni termine dell'equazione in modo che il termine sul lato destro sia positivo.

$- 5 x^{2} + 4 y^{2} = 80$

Passaggio 1.3

Dividi per $80$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$- \frac{5 x^{2}}{80} + \frac{4 y^{2}}{80} = \frac{80}{80}$

Passaggio 1.4

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{y^{2}}{20} - \frac{x^{2}}{16} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 2 \sqrt{5}$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

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Passaggio 4.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole usando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(2 \sqrt{5})}^{2} + {(4)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{5}}^{2} + {(4)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{5}}^{2} + {(4)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

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Passaggio 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(4)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(4)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {(4)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {(4)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{4 \cdot 5^{1} + {(4)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{4 \cdot 5 + {(4)}^{2}}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.3.1

Moltiplica $4$ per $5$ .

$\sqrt{20 + {(4)}^{2}}$

Passaggio 4.3.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{20 + 16}$

Passaggio 4.3.3.3

Somma $20$ e $16$ .

$\sqrt{36}$

Passaggio 4.3.3.4

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\sqrt{6^{2}}$

Passaggio 4.3.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$6$

Passaggio 5

Trova i fuochi.

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Passaggio 5.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, 6)$

Passaggio 5.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 5.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, - 6)$

Passaggio 5.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(0, 6), (0, - 6)$

Passaggio 6