Algebra Esempi

$f (x) = x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70$ $g (x) = x + 7$

Passaggio 1

Sostituisci $x + 7$ a $f (x)$ .

$x + 7 = x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70 = x + 7$

Passaggio 2.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.2.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70 - x = 7$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $x$ da $25 x$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 70 = 7$

Passaggio 2.3

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 70 - 7 = 0$

Passaggio 2.4

Sottrai $7$ da $- 70$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77 = 0$

Passaggio 2.5

Scomponi $x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 2.5.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.5.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci $- 7$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 7$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 2.5.3.1

Sostituisci $- 7$ nel polinomio.

${(- 7)}^{3} + 12 {(- 7)}^{2} + 24 \cdot - 7 - 77$

Passaggio 2.5.3.2

Eleva $- 7$ alla potenza di $3$ .

$- 343 + 12 {(- 7)}^{2} + 24 \cdot - 7 - 77$

Passaggio 2.5.3.3

Eleva $- 7$ alla potenza di $2$ .

$- 343 + 12 \cdot 49 + 24 \cdot - 7 - 77$

Passaggio 2.5.3.4

Moltiplica $12$ per $49$ .

$- 343 + 588 + 24 \cdot - 7 - 77$

Passaggio 2.5.3.5

Somma $- 343$ e $588$ .

$245 + 24 \cdot - 7 - 77$

Passaggio 2.5.3.6

Moltiplica $24$ per $- 7$ .

$245 - 168 - 77$

Passaggio 2.5.3.7

Sottrai $168$ da $245$ .

$77 - 77$

Passaggio 2.5.3.8

Sottrai $77$ da $77$ .

$0$

Passaggio 2.5.4

Poiché $- 7$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 7$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77}{x + 7}$

Passaggio 2.5.5

Dividi $x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77$ per $x + 7$ .

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Passaggio 2.5.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$7$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$24 x$

$77$

Passaggio 2.5.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$

Passaggio 2.5.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			+	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Passaggio 2.5.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 7 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Passaggio 2.5.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

Passaggio 2.5.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$

Passaggio 2.5.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $5 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$

Passaggio 2.5.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$35 x$

Passaggio 2.5.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $5 x^{2} + 35 x$

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$

Passaggio 2.5.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$

Passaggio 2.5.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$

Passaggio 2.5.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 11 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$

Passaggio 2.5.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$
							-	$11 x$	-	$77$

Passaggio 2.5.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 11 x - 77$

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$
							+	$11 x$	+	$77$

Passaggio 2.5.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$
							+	$11 x$	+	$77$
										$0$

Passaggio 2.5.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 5 x - 11$

Passaggio 2.5.6

Scrivi $x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77$ come insieme di fattori.

$(x + 7) (x^{2} + 5 x - 11) = 0$

Passaggio 2.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 7 = 0$

$x^{2} + 5 x - 11 = 0$

Passaggio 2.7

Imposta $x + 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.7.1

Imposta $x + 7$ uguale a $0$ .

$x + 7 = 0$

Passaggio 2.7.2

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 7$

Passaggio 2.8

Imposta $x^{2} + 5 x - 11$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Imposta $x^{2} + 5 x - 11$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 5 x - 11 = 0$

Passaggio 2.8.2

Risolvi $x^{2} + 5 x - 11 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.8.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 5$ e $c = - 11$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 11)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.8.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.3.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.8.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.8.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 11$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 44}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.8.2.3.1.3

Somma $25$ e $44$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.8.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2}$

Passaggio 2.8.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.4.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.8.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.8.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 11$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 44}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.8.2.4.1.3

Somma $25$ e $44$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.8.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2}$

Passaggio 2.8.2.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 5 + \sqrt{69}}{2}$

Passaggio 2.8.2.4.4

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + \sqrt{69}}{2}$

Passaggio 2.8.2.4.5

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{69}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \sqrt{69})}{2}$

Passaggio 2.8.2.4.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (5) - 1 (- \sqrt{69})$ .

$x = \frac{- 1 (5 - \sqrt{69})}{2}$

Passaggio 2.8.2.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}$

Passaggio 2.8.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.8.2.5.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.8.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.8.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 11$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 44}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.8.2.5.1.3

Somma $25$ e $44$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.8.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2}$

Passaggio 2.8.2.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 5 - \sqrt{69}}{2}$

Passaggio 2.8.2.5.4

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - \sqrt{69}}{2}$

Passaggio 2.8.2.5.5

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{69}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (\sqrt{69})}{2}$

Passaggio 2.8.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (5) - (\sqrt{69})$ .

$x = \frac{- 1 (5 + \sqrt{69})}{2}$

Passaggio 2.8.2.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

Passaggio 2.8.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

Passaggio 2.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 7) (x^{2} + 5 x - 11) = 0$ vera.

$x = - 7, - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

Passaggio 3

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - 7, - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

Forma decimale:

$x = - 7, 1.65331193 \dots, - 6.65331193 \dots$