Algebra Esempi

$- 2 y^{2} + x - 20 y - 49 = 0$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $2 y^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x - 20 y - 49 = 2 y^{2}$

Passaggio 1.2

Somma $20 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x - 49 = 2 y^{2} + 20 y$

Passaggio 1.3

Somma $49$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2 y^{2} + 20 y + 49$

Passaggio 2

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Completa il quadrato per $2 y^{2} + 20 y + 49$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 2$

$b = 20$

$c = 49$

Passaggio 2.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{20}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $20$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $20$ .

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.1.1.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 (2)}$

Passaggio 2.1.1.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.1.1.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{10}{2}$

Passaggio 2.1.1.3.2.2

Elimina il fattore comune di $10$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2}$

Passaggio 2.1.1.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 (1)}$

Passaggio 2.1.1.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.1.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{5}{1}$

Passaggio 2.1.1.3.2.2.2.4

Dividi $5$ per $1$ .

$d = 5$

Passaggio 2.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 49 - \frac{20^{2}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 2.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.1

Eleva $20$ alla potenza di $2$ .

$e = 49 - \frac{400}{4 \cdot 2}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$e = 49 - \frac{400}{8}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.3

Dividi $400$ per $8$ .

$e = 49 - 1 \cdot 50$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $50$ .

$e = 49 - 50$

Passaggio 2.1.1.4.2.2

Sottrai $50$ da $49$ .

$e = - 1$

Passaggio 2.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $2 {(y + 5)}^{2} - 1$ .

$2 {(y + 5)}^{2} - 1$

Passaggio 2.1.2

Imposta $x$ uguale al nuovo lato destro.

$x = 2 {(y + 5)}^{2} - 1$

Passaggio 2.2

Utilizza la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 2$

$h = - 1$

$k = - 5$

Passaggio 2.3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre a destra.

Si apre a destra

Passaggio 2.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- 1, - 5)$

Passaggio 2.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 2.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{1}{8}$

Passaggio 2.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata x $h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 2.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- \frac{7}{8}, - 5)$

Passaggio 2.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$y = - 5$

Passaggio 2.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata x $h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 2.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $h$ nella formula e semplifica.

$x = - \frac{9}{8}$

Passaggio 2.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(- 1, - 5)$

Fuoco: $(- \frac{7}{8}, - 5)$

Asse di simmetria: $y = - 5$

Direttrice: $x = - \frac{9}{8}$

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(- 1, - 5)$

Fuoco: $(- \frac{7}{8}, - 5)$

Asse di simmetria: $y = - 5$

Direttrice: $x = - \frac{9}{8}$

Passaggio 3

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci il valore $0$ di $x$ in $f (x) = - \frac{10 + \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ . In questo caso, il punto è $(0, - 5.70710678)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - \frac{10 + \sqrt{2 ((0) + 1)}}{2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Somma $0$ e $1$ .

$f (0) = - \frac{10 + \sqrt{2 \cdot 1}}{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (0) = - \frac{10 + \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.1.2.2

La risposta finale è $- \frac{10 + \sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{10 + \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.1.3

Converti $- \frac{10 + \sqrt{2}}{2}$ in decimale.

$= - 5.70710678$

Passaggio 3.2

Sostituisci il valore $0$ di $x$ in $f (x) = - \frac{10 - \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ . In questo caso, il punto è $(0, - 4.29289321)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - \frac{10 - \sqrt{2 ((0) + 1)}}{2}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Somma $0$ e $1$ .

$f (0) = - \frac{10 - \sqrt{2 \cdot 1}}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (0) = - \frac{10 - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.2.2.2

La risposta finale è $- \frac{10 - \sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{10 - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.2.3

Converti $- \frac{10 - \sqrt{2}}{2}$ in decimale.

$= - 4.29289321$

Passaggio 3.3

Sostituisci il valore $1$ di $x$ in $f (x) = - \frac{10 + \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ . In questo caso, il punto è $(1, - 6)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = - \frac{10 + \sqrt{2 ((1) + 1)}}{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Somma $1$ e $1$ .

$f (1) = - \frac{10 + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (1) = - \frac{10 + \sqrt{4}}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (1) = - \frac{10 + \sqrt{2^{2}}}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (1) = - \frac{10 + 2}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.5

Somma $10$ e $2$ .

$f (1) = - \frac{12}{2}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Dividi $12$ per $2$ .

$f (1) = - 1 \cdot 6$

Passaggio 3.3.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$f (1) = - 6$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $- 6$ .

$y = - 6$

Passaggio 3.3.3

Converti $- 6$ in decimale.

$= - 6$

Passaggio 3.4

Sostituisci il valore $1$ di $x$ in $f (x) = - \frac{10 - \sqrt{2 (x + 1)}}{2}$ . In questo caso, il punto è $(1, - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = - \frac{10 - \sqrt{2 ((1) + 1)}}{2}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Somma $1$ e $1$ .

$f (1) = - \frac{10 - \sqrt{2 \cdot 2}}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (1) = - \frac{10 - \sqrt{4}}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (1) = - \frac{10 - \sqrt{2^{2}}}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (1) = - \frac{10 - 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (1) = - \frac{10 - 2}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.6

Sottrai $2$ da $10$ .

$f (1) = - \frac{8}{2}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Dividi $8$ per $2$ .

$f (1) = - 1 \cdot 4$

Passaggio 3.4.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (1) = - 4$

Passaggio 3.4.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 3.4.3

Converti $- 4$ in decimale.

$= - 4$

Passaggio 3.5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 5 \\ 0 & - 5.71 \\ 0 & - 4.29 \\ 1 & - 6 \\ 1 & - 4 \end{array}$

Passaggio 4

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(- 1, - 5)$

Fuoco: $(- \frac{7}{8}, - 5)$

Asse di simmetria: $y = - 5$

Direttrice: $x = - \frac{9}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 5 \\ 0 & - 5.71 \\ 0 & - 4.29 \\ 1 & - 6 \\ 1 & - 4 \end{array}$

Passaggio 5