Algebra Esempi

${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} \leq 4$

Passaggio 1

Sottrai ${(x - 1)}^{2}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

${(y + 2)}^{2} \leq 4 - {(x - 1)}^{2}$

Passaggio 2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt{{(y + 2)}^{2}} \leq \sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| y + 2 | \leq \sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica $\sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{2^{2} - {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2$ e $b = x - 1$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{(2 + x - 1) (2 - (x - 1))}$

Passaggio 3.2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.3.1

Sottrai $1$ da $2$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (2 - (x - 1))}$

Passaggio 3.2.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (2 - x - - 1)}$

Passaggio 3.2.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (2 - x + 1)}$

Passaggio 3.2.1.3.4

Somma $2$ e $1$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

Passaggio 4

Scrivi $| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$y + 2 \geq 0$

Passaggio 4.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$y \geq - 2$

Passaggio 4.3

Nella parte in cui $y + 2$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

Passaggio 4.4

Individua il dominio di $y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ e trova l'intersezione con $y \geq - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Trova il dominio di $y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$(x + 1) (- x + 3) \geq 0$

Passaggio 4.4.1.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.1

Semplifica $(x + 1) (- x + 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.1.1

Espandi $(x + 1) (- x + 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (- x + 3) + 1 (- x + 3) \geq 0$

Passaggio 4.4.1.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$x (- x) + x \cdot 3 + 1 (- x + 3) \geq 0$

Passaggio 4.4.1.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x (- x) + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Passaggio 4.4.1.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.1.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- x \cdot x + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Passaggio 4.4.1.2.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.1.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$- (x \cdot x) + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Passaggio 4.4.1.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- x^{2} + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Passaggio 4.4.1.2.1.2.1.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$- x^{2} + 3 \cdot x + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Passaggio 4.4.1.2.1.2.1.4

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$- x^{2} + 3 x - x + 1 \cdot 3 \geq 0$

Passaggio 4.4.1.2.1.2.1.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- x^{2} + 3 x - x + 3 \geq 0$

Passaggio 4.4.1.2.1.2.2

Sottrai $x$ da $3 x$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$

Passaggio 4.4.1.2.2

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Passaggio 4.4.1.2.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.3.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{2} + 2 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.3.1.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

Passaggio 4.4.1.2.3.1.2

Scomponi $- 1$ da $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

Passaggio 4.4.1.2.3.1.3

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Passaggio 4.4.1.2.3.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Passaggio 4.4.1.2.3.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Passaggio 4.4.1.2.3.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.3.2.1

Scomponi $x^{2} - 2 x - 3$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.3.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 3, 1$

Passaggio 4.4.1.2.3.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Passaggio 4.4.1.2.3.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

Passaggio 4.4.1.2.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 4.4.1.2.5

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.5.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 4.4.1.2.5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 4.4.1.2.6

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.6.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 4.4.1.2.6.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 4.4.1.2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (x - 3) (x + 1) = 0$ vera.

$x = 3, - 1$

Passaggio 4.4.1.2.8

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 1$

$- 1 < x < 3$

$x > 3$

Passaggio 4.4.1.2.9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.9.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 4.4.1.2.9.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$((- 4) + 1) (- (- 4) + 3) \geq 0$

Passaggio 4.4.1.2.9.1.3

Il lato sinistro di $- 21$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 4.4.1.2.9.2

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 4.4.1.2.9.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$((0) + 1) (- (0) + 3) \geq 0$

Passaggio 4.4.1.2.9.2.3

Il lato sinistro di $3$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 4.4.1.2.9.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 4.4.1.2.9.3.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$((6) + 1) (- (6) + 3) \geq 0$

Passaggio 4.4.1.2.9.3.3

Il lato sinistro di $- 21$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 4.4.1.2.9.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 3$ Vero

$x > 3$ Falso

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 3$ Vero

$x > 3$ Falso

Passaggio 4.4.1.2.10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 1 \leq x \leq 3$

Passaggio 4.4.1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $y$ che rendono definita l'espressione.

$[- 1, 3]$

Passaggio 4.4.2

Trova l'intersezione di $y \geq - 2$ e $[- 1, 3]$ .

$- 1 \leq y \leq 3$

Passaggio 4.5

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$y + 2 < 0$

Passaggio 4.6

Sottrai $2$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$y < - 2$

Passaggio 4.7

Nella parte in cui $y + 2$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- (y + 2) \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

Passaggio 4.8

Individua il dominio di $- (y + 2) \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ e trova l'intersezione con $y < - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Trova il dominio di $- (y + 2) \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$(x + 1) (- x + 3) \geq 0$

Passaggio 4.8.1.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.2.1

Semplifica $(x + 1) (- x + 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.2.1.1

Espandi $(x + 1) (- x + 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (- x + 3) + 1 (- x + 3) \geq 0$

Passaggio 4.8.1.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$x (- x) + x \cdot 3 + 1 (- x + 3) \geq 0$

Passaggio 4.8.1.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x (- x) + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Passaggio 4.8.1.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.2.1.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- x \cdot x + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Passaggio 4.8.1.2.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.2.1.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$- (x \cdot x) + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Passaggio 4.8.1.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- x^{2} + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Passaggio 4.8.1.2.1.2.1.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$- x^{2} + 3 \cdot x + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Passaggio 4.8.1.2.1.2.1.4

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$- x^{2} + 3 x - x + 1 \cdot 3 \geq 0$

Passaggio 4.8.1.2.1.2.1.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- x^{2} + 3 x - x + 3 \geq 0$

Passaggio 4.8.1.2.1.2.2

Sottrai $x$ da $3 x$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$

Passaggio 4.8.1.2.2

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Passaggio 4.8.1.2.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.2.3.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{2} + 2 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.2.3.1.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

Passaggio 4.8.1.2.3.1.2

Scomponi $- 1$ da $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

Passaggio 4.8.1.2.3.1.3

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Passaggio 4.8.1.2.3.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Passaggio 4.8.1.2.3.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Passaggio 4.8.1.2.3.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.2.3.2.1

Scomponi $x^{2} - 2 x - 3$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.2.3.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 3, 1$

Passaggio 4.8.1.2.3.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Passaggio 4.8.1.2.3.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

Passaggio 4.8.1.2.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 4.8.1.2.5

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.2.5.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 4.8.1.2.5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 4.8.1.2.6

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.2.6.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 4.8.1.2.6.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 4.8.1.2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (x - 3) (x + 1) = 0$ vera.

$x = 3, - 1$

Passaggio 4.8.1.2.8

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 1$

$- 1 < x < 3$

$x > 3$

Passaggio 4.8.1.2.9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.2.9.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.2.9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 4.8.1.2.9.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$((- 4) + 1) (- (- 4) + 3) \geq 0$

Passaggio 4.8.1.2.9.1.3

Il lato sinistro di $- 21$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 4.8.1.2.9.2

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.2.9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 4.8.1.2.9.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$((0) + 1) (- (0) + 3) \geq 0$

Passaggio 4.8.1.2.9.2.3

Il lato sinistro di $3$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 4.8.1.2.9.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1.2.9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 4.8.1.2.9.3.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$((6) + 1) (- (6) + 3) \geq 0$

Passaggio 4.8.1.2.9.3.3

Il lato sinistro di $- 21$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 4.8.1.2.9.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 3$ Vero

$x > 3$ Falso

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 3$ Vero

$x > 3$ Falso

Passaggio 4.8.1.2.10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 1 \leq x \leq 3$

Passaggio 4.8.1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $y$ che rendono definita l'espressione.

$[- 1, 3]$

Passaggio 4.8.2

Trova l'intersezione di $y < - 2$ e $[- 1, 3]$ .

$Nessuna soluzione$

Passaggio 4.9

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} & - 1 \leq y \leq 3 \end{cases}$

Passaggio 5

Risolvi $y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ dove $- 1 \leq y \leq 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$y \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 2$

Passaggio 5.2

Trova l'intersezione di $y \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 2$ e $- 1 \leq y \leq 3$ .

$- 1 \leq y \leq N o (Min i m u m)$

Passaggio 6

Trova l'unione delle soluzioni.

$- 1 \leq y \leq i N o Min m^{2} u$

Passaggio 7