Algebra Esempi

$\sqrt{2} \sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $\sin^{2} (x)$ con $1 - \cos^{2} (x)$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$\sqrt{2} (1 - \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\sqrt{2}$ per $1$ .

$\sqrt{2} + \sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

Passaggio 3

Riordina il polinomio.

$\sqrt{2} (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) + \sqrt{2} = 0$

Passaggio 4

Sostituisci $\cos (x)$ per $u$ .

$\sqrt{2} (- {(u)}^{2}) + u + \sqrt{2} = 0$

Passaggio 5

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6

Sostituisci i valori $a = - \sqrt{2}$ , $b = 1$ e $c = \sqrt{2}$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- \sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Passaggio 7.1.3

Moltiplica $4 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Passaggio 7.1.3.1

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

Passaggio 7.1.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}{2 (- \sqrt{2})}$

Passaggio 7.1.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Passaggio 7.1.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {\sqrt{2}}^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Passaggio 7.1.4

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 7.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Passaggio 7.1.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Passaggio 7.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Passaggio 7.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Passaggio 7.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2}}{2 (- \sqrt{2})}$

Passaggio 7.1.4.5

Calcola l'esponente.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 2}}{2 (- \sqrt{2})}$

Passaggio 7.1.5

Moltiplica $4$ per $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2 (- \sqrt{2})}$

Passaggio 7.1.6

Somma $1$ e $8$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2 (- \sqrt{2})}$

Passaggio 7.1.7

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 (- \sqrt{2})}$

Passaggio 7.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$u = \frac{- 1 \pm 3}{2 (- \sqrt{2})}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$u = \frac{- 1 \pm 3}{- 2 \sqrt{2}}$

Passaggio 7.3

Semplifica $\frac{- 1 \pm 3}{- 2 \sqrt{2}}$ .

$u = \frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 7.4

Moltiplica $\frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u = \frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 7.5

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 7.5.1

Moltiplica $\frac{1 \pm 3}{2 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 7.5.2

Sposta $\sqrt{2}$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Passaggio 7.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Passaggio 7.5.4

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Passaggio 7.5.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 7.5.6

Somma $1$ e $1$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 7.5.7

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 7.5.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 7.5.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 7.5.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.5.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.5.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 7.5.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.5.7.5

Calcola l'esponente.

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u = \frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 7.7

Riordina i fattori in $\frac{(1 \pm 3) \sqrt{2}}{4}$ .

$u = \frac{\sqrt{2} (1 \pm 3)}{4}$

Passaggio 8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 9

Sostituisci $u$ per $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \sqrt{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 10

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\cos (x) = \sqrt{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 11

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = \sqrt{2}$ .

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Passaggio 11.1

L'intervallo del coseno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Dato che $\sqrt{2}$ non rientra nell'intervallo, non c'è soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 12

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 12.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 12.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 12.2.1

Il valore esatto di $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ è $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 12.3

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Passaggio 12.4

Semplifica $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Passaggio 12.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Passaggio 12.4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 12.4.2.1

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Passaggio 12.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Passaggio 12.4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.4.3.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Passaggio 12.4.3.2

Sottrai $3 π$ da $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 12.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 12.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 12.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 12.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 12.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 12.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$