Algebra Esempi

$\frac{1}{2} \log_{5} (15) - \log_{5} (\sqrt{75})$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1

Semplifica $\frac{1}{2} \log_{5} (15)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$\log_{5} (15^{\frac{1}{2}}) - \log_{5} (\sqrt{75})$

Passaggio 1.2

Riscrivi $75$ come $5^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $25$ da $75$ .

$\log_{5} (15^{\frac{1}{2}}) - \log_{5} (\sqrt{25 (3)})$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\log_{5} (15^{\frac{1}{2}}) - \log_{5} (\sqrt{5^{2} \cdot 3})$

Passaggio 1.3

Estrai i termini dal radicale.

$\log_{5} (15^{\frac{1}{2}}) - \log_{5} (5 \sqrt{3})$

Passaggio 2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}}}{5 \sqrt{3}})$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{15^{\frac{1}{2}}}{5 \sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}}}{5 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Passaggio 4

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{15^{\frac{1}{2}}}{5 \sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \sqrt{3} \sqrt{3}})$

Passaggio 4.2

Sposta $\sqrt{3}$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 (\sqrt{3} \sqrt{3})})$

Passaggio 4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})})$

Passaggio 4.4

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})})$

Passaggio 4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 {\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

Passaggio 4.6

Somma $1$ e $1$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 {\sqrt{3}}^{2}})$

Passaggio 4.7

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 4.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Passaggio 4.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Passaggio 4.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 4.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}})$

Passaggio 4.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{1}})$

Passaggio 4.7.5

Calcola l'esponente.

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3})$

Passaggio 5

Moltiplica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{15})$

Passaggio 5.2

Sposta $15^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15 \cdot 15^{- \frac{1}{2}}})$

Passaggio 6

Moltiplica $15$ per $15^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $15$ per $15^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 6.1.1

Eleva $15$ alla potenza di $1$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{1} \cdot 15^{- \frac{1}{2}}})$

Passaggio 6.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{1 - \frac{1}{2}}})$

Passaggio 6.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}})$

Passaggio 6.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{2 - 1}{2}}})$

Passaggio 6.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 7

Riscrivi $\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{1}{2}}})$ usando la formula del cambiamento di base.

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Passaggio 7.1

È possibile usare la variazione della regola base se $a$ e $b$ sono maggiori di $0$ e non uguali a $1$ e $x$ è maggiore di $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori per le variabili nella formula del cambiamento di base usando $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{1}{2}}})}{\log (5)}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\log (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{1}{2}}})}{\log (5)}$

Forma decimale:

$- 0.5$