Algebra Esempi

${(2 x^{3} + 1)}^{5}$

Passaggio 1

Il triangolo di Tartaglia può essere visualizzato come segue:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

È possibile usare il triangolo per calcolare i coefficienti dell'espansione di ${(a + b)}^{n}$ prendendo l'esponente $n$ e sommando $1$ . I coefficienti corrisponderanno alla retta $n + 1$ del triangolo. Per ${(2 x^{3} + 1)}^{5}$ , $n = 5$ in modo che i coefficienti dell'espansione corrispondano alla retta $6$ .

Passaggio 2

L'espansione segue la regola ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . I valori dei coefficienti dal triangolo sono $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di $a$ $2 x^{3}$ e $b$ $1$ nell'espressione.

$1 {(2 x^{3})}^{5} {(1)}^{0} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $1$ per ${(1)}^{0}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sposta ${(1)}^{0}$ .

${(1)}^{0} \cdot 1 {(2 x^{3})}^{5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica ${(1)}^{0}$ per $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Eleva $1$ alla potenza di $1$ .

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} {(2 x^{3})}^{5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1^{0 + 1} {(2 x^{3})}^{5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.1.3

Somma $0$ e $1$ .

$1^{1} {(2 x^{3})}^{5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.2

Semplifica $1^{1} {(2 x^{3})}^{5}$ .

${(2 x^{3})}^{5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.3

Applica la regola del prodotto a $2 x^{3}$ .

$2^{5} {(x^{3})}^{5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.4

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$32 {(x^{3})}^{5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 x^{3 \cdot 5} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$32 x^{15} + 5 {(2 x^{3})}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.6

Applica la regola del prodotto a $2 x^{3}$ .

$32 x^{15} + 5 (2^{4} {(x^{3})}^{4}) {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.7

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$32 x^{15} + 5 (16 {(x^{3})}^{4}) {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.8

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 x^{15} + 5 (16 x^{3 \cdot 4}) {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.8.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$32 x^{15} + 5 (16 x^{12}) {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.9

Moltiplica $16$ per $5$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} {(1)}^{1} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.10

Calcola l'esponente.

$32 x^{15} + 80 x^{12} \cdot 1 + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.11

Moltiplica $80$ per $1$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 10 {(2 x^{3})}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.12

Applica la regola del prodotto a $2 x^{3}$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 10 (2^{3} {(x^{3})}^{3}) {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.13

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 10 (8 {(x^{3})}^{3}) {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.14

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.14.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 10 (8 x^{3 \cdot 3}) {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.14.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 10 (8 x^{9}) {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.15

Moltiplica $8$ per $10$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} {(1)}^{2} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.16

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} \cdot 1 + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.17

Moltiplica $80$ per $1$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 10 {(2 x^{3})}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.18

Applica la regola del prodotto a $2 x^{3}$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 10 (2^{2} {(x^{3})}^{2}) {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.19

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 10 (4 {(x^{3})}^{2}) {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.20

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.20.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 10 (4 x^{3 \cdot 2}) {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.20.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 10 (4 x^{6}) {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.21

Moltiplica $4$ per $10$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} {(1)}^{3} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.22

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} \cdot 1 + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.23

Moltiplica $40$ per $1$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 5 {(2 x^{3})}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.24

Semplifica.

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 5 (2 x^{3}) {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.25

Moltiplica $2$ per $5$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} {(1)}^{4} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.26

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} \cdot 1 + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.27

Moltiplica $10$ per $1$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} + 1 {(2 x^{3})}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.28

Moltiplica $1$ per ${(1)}^{5}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.28.1

Sposta ${(1)}^{5}$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} + {(1)}^{5} \cdot 1 {(2 x^{3})}^{0}$

Passaggio 4.28.2

Moltiplica ${(1)}^{5}$ per $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.28.2.1

Eleva $1$ alla potenza di $1$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} + {(1)}^{5} \cdot 1^{1} {(2 x^{3})}^{0}$

Passaggio 4.28.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} + 1^{5 + 1} {(2 x^{3})}^{0}$

Passaggio 4.28.3

Somma $5$ e $1$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} + 1^{6} {(2 x^{3})}^{0}$

Passaggio 4.29

Semplifica $1^{6} {(2 x^{3})}^{0}$ .

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} + 1^{6}$

Passaggio 4.30

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$32 x^{15} + 80 x^{12} + 80 x^{9} + 40 x^{6} + 10 x^{3} + 1$