Algebra Esempi

$f (r) = 4 π r^{2}$

Passaggio 1

Scrivi $f (r) = 4 π r^{2}$ come un'equazione.

$y = 4 π r^{2}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$r = 4 π y^{2}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $4 π y^{2} = r$ .

$4 π y^{2} = r$

Passaggio 3.2

Dividi per $4 π$ ciascun termine in $4 π y^{2} = r$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $4 π$ ciascun termine in $4 π y^{2} = r$ .

$\frac{4 π y^{2}}{4 π} = \frac{r}{4 π}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 π y^{2}}{4 π} = \frac{r}{4 π}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π y^{2}}{π} = \frac{r}{4 π}$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π y^{2}}{π} = \frac{r}{4 π}$

Passaggio 3.2.2.2.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{r}{4 π}$

Passaggio 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{r}{4 π}}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{r}{4 π}}$ .

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Passaggio 3.4.1

Riscrivi $\frac{r}{4 π}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{r}{π}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $r$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} r}{4 π}}$

Passaggio 3.4.1.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $4 π$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} r}{2^{2} π}}$

Passaggio 3.4.1.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} r}{2^{2} π}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{r}{π}}$

Passaggio 3.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{r}{π}}$

Passaggio 3.4.3

Riscrivi $\sqrt{\frac{r}{π}}$ come $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ per $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}} \cdot \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}})$

Passaggio 3.4.5

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.4.5.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ per $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{\sqrt{π} \sqrt{π}}$

Passaggio 3.4.5.2

Eleva $\sqrt{π}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1} \sqrt{π}}$

Passaggio 3.4.5.3

Eleva $\sqrt{π}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1} {\sqrt{π}}^{1}}$

Passaggio 3.4.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.4.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{2}}$

Passaggio 3.4.5.6

Riscrivi ${\sqrt{π}}^{2}$ come $π$ .

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Passaggio 3.4.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{π}$ come $π^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{(π^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.4.5.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.4.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.4.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{1}}$

Passaggio 3.4.5.6.5

Semplifica.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π}$

Passaggio 3.4.6

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r π}}{π}$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{r π}}{π}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Passaggio 3.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (r)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ è l'inverso di $f (r) = 4 π r^{2}$ .

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Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (r) = 4 π r^{2}$ e $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (r) = 4 π r^{2}$ .

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Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $\frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{r π}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$r π \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Dividi per $π$ ciascun termine in $r π \geq 0$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.2.1

Dividi per $π$ ciascun termine in $r π \geq 0$ .

$\frac{r π}{π} \geq \frac{0}{π}$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $π$ .

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Passaggio 5.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{r π}{π} \geq \frac{0}{π}$

Passaggio 5.3.2.2.1.2

Dividi $r$ per $1$ .

$r \geq \frac{0}{π}$

Passaggio 5.3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.2.3.1

Dividi $0$ per $π$ .

$r \geq 0$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $r$ che rendono definita l'espressione.

$[0, \infty)$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $f (r) = 4 π r^{2}$ .

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Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ è l'intervallo di $f (r) = 4 π r^{2}$ e l'intervallo di $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ è il dominio di $f (r) = 4 π r^{2}$ , allora $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ è l'inverso di $f (r) = 4 π r^{2}$ .

$f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Passaggio 6