Algebra Esempi

$f (x) = \frac{(x^{2} + x) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Passaggio 1

Fattorizza $(x^{2} + x) (x^{2} - 8 x + 16)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $x$ da $x^{2} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$f (x) = \frac{(x \cdot x + x) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Passaggio 1.1.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f (x) = \frac{(x \cdot x + x) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$f (x) = \frac{(x \cdot x + x \cdot 1) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Passaggio 1.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Passaggio 1.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) (x^{2} - 8 x + 4^{2})}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Passaggio 1.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi il polinomio.

$f (x) = \frac{x (x + 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Passaggio 1.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 4$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Passaggio 2

Fattorizza $(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x^{2} - 1^{2}) (10 x^{3} - 15 x)}$

Passaggio 2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Passaggio 2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Scomponi $5 x$ da $10 x^{3} - 15 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Scomponi $5 x$ da $10 x^{3}$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (5 x (2 x^{2}) - 15 x)}$

Passaggio 2.3.1.2

Scomponi $5 x$ da $- 15 x$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 3))}$

Passaggio 2.3.1.3

Scomponi $5 x$ da $5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 3)$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (5 x (2 x^{2} - 3))}$

Passaggio 2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) \cdot (5 x (2 x^{2} - 3))}$

Passaggio 3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune.

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) \cdot (5 x (2 x^{2} - 3))}$

Passaggio 3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (x) = \frac{(x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) \cdot (5 (2 x^{2} - 3))}$

Passaggio 4

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune.

$f (x) = \frac{(x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) \cdot (5 (2 x^{2} - 3))}$

Passaggio 4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{(x - 1) \cdot (5 (2 x^{2} - 3))}$

Passaggio 5

Sposta $5$ alla sinistra di $x - 1$ .

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{5 \cdot ((x - 1) (2 x^{2} - 3))}$

Passaggio 6

Moltiplica $5$ per $x - 1$ .

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{5 (x - 1) (2 x^{2} - 3)}$

Passaggio 7

Per trovare gli spazi vuoti nel grafico, guarda i fattori dei denominatori che sono stati annullati.

$x + 1, x$

Passaggio 8

Per trovare le coordinate degli spazi vuoti, imposta ogni fattore che è stato annullato uguale a $0$ , risolvi e inseriscilo nuovamente in $\frac{{(x - 4)}^{2}}{5 (x - 1) (2 x^{2} - 3)}$ .

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Passaggio 8.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 8.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 8.3

Sostituisci $- 1$ a $x$ in $\frac{{(x - 4)}^{2}}{5 (x - 1) (2 x^{2} - 3)}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ per trovare la coordinata $y$ per lo spazio vuoto.

$\frac{{(- 1 - 4)}^{2}}{5 (- 1 - 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Passaggio 8.3.2

Semplifica.

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Passaggio 8.3.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1

Sottrai $4$ da $- 1$ .

$\frac{{(- 5)}^{2}}{5 (- 1 - 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Passaggio 8.3.2.1.2

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{25}{5 (- 1 - 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Passaggio 8.3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.1

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$\frac{25}{5 \cdot - 2 (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Passaggio 8.3.2.2.2

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$\frac{25}{- 10 (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Passaggio 8.3.2.2.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{25}{- 10 (2 \cdot 1 - 3)}$

Passaggio 8.3.2.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{25}{- 10 (2 - 3)}$

Passaggio 8.3.2.2.5

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{25}{- 10 \cdot - 1}$

Passaggio 8.3.2.3

Moltiplica $- 10$ per $- 1$ .

$\frac{25}{10}$

Passaggio 8.3.2.4

Elimina il fattore comune di $25$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.4.1

Scomponi $5$ da $25$ .

$\frac{5 (5)}{10}$

Passaggio 8.3.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.4.2.1

Scomponi $5$ da $10$ .

$\frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{2}$

Passaggio 8.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 8.5

Sostituisci $0$ a $x$ in $\frac{{(x - 4)}^{2}}{5 (x - 1) (2 x^{2} - 3)}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Sostituisci $0$ a $x$ per trovare la coordinata $y$ per lo spazio vuoto.

$\frac{{(0 - 4)}^{2}}{5 (0 - 1) (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Passaggio 8.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.2.1.1

Sottrai $4$ da $0$ .

$\frac{{(- 4)}^{2}}{5 (0 - 1) (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Passaggio 8.5.2.1.2

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{16}{5 (0 - 1) (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Passaggio 8.5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.2.2.1

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{16}{5 \cdot - 1 (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Passaggio 8.5.2.2.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.2.2.2.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{16}{- (5 (2 \cdot 0^{2} - 3))}$

Passaggio 8.5.2.2.2.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{16}{- 5 (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Passaggio 8.5.2.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.2.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{16}{- 5 (2 \cdot 0 - 3)}$

Passaggio 8.5.2.2.3.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{16}{- 5 (0 - 3)}$

Passaggio 8.5.2.2.4

Sottrai $3$ da $0$ .

$\frac{16}{- 5 \cdot - 3}$

Passaggio 8.5.2.3

Moltiplica $- 5$ per $- 3$ .

$\frac{16}{15}$

Passaggio 8.6

Gli spazi vuoti nel grafico sono i punti in cui uno qualsiasi dei fattori annullati è uguale a $0$ .

$(- 1, \frac{5}{2}), (0, \frac{16}{15})$

Passaggio 9