Algebra Esempi

$\frac{x^{2} + x - 6}{x - 7} \geq 0$

Passaggio 1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x^{2} + x - 6 = 0$

$x - 7 = 0$

Passaggio 2

Scomponi $x^{2} + x - 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $1$ .

$- 2, 3$

Passaggio 2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 4

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 5

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 2) (x + 3) = 0$ vera.

$x = 2, - 3$

Passaggio 7

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Passaggio 8

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 2, - 3$

$x = 7$

Passaggio 9

Consolida le soluzioni.

$x = 2, - 3, 7$

Passaggio 10

Trova il dominio di $\frac{x^{2} + x - 6}{x - 7}$ .

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Passaggio 10.1

Imposta il denominatore in $\frac{x^{2} + x - 6}{x - 7}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x - 7 = 0$

Passaggio 10.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Passaggio 10.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

Passaggio 11

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$2 < x < 7$

$x > 7$

Passaggio 12

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 12.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 12.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 6 - 6}{(- 6) - 7} \geq 0$

Passaggio 12.1.3

Il lato sinistro di $- 1.\overline{846153}$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 12.2

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 12.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(0)}^{2} + 0 - 6}{(0) - 7} \geq 0$

Passaggio 12.2.3

Il lato sinistro di $0.\overline{857142}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 12.3

Testa un valore sull'intervallo $2 < x < 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $2 < x < 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 12.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(4)}^{2} + 4 - 6}{(4) - 7} \geq 0$

Passaggio 12.3.3

Il lato sinistro di $- 4.\overline{6}$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 12.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 12.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 10$

Passaggio 12.4.2

Sostituisci $x$ con $10$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(10)}^{2} + 10 - 6}{(10) - 7} \geq 0$

Passaggio 12.4.3

Il lato sinistro di $34.\overline{6}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 12.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 2$ Vero

$2 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Vero

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 2$ Vero

$2 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Vero

Passaggio 13

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 3 \leq x \leq 2$ o $x > 7$

Passaggio 14

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$- 3 \leq x \leq 2 or x > 7$

Notazione degli intervalli:

$[- 3, 2] \cup (7, \infty)$

Passaggio 15