Algebra Esempi

$y = {(x + 2)}^{2} + 3$

Passaggio 1

La funzione genitore è la forma più semplice del tipo di funzione data.

$y = x^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ${(x + 2)}^{2} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Riscrivi ${(x + 2)}^{2}$ come $(x + 2) (x + 2)$ .

$y = (x + 2) (x + 2) + 3$

Passaggio 2.1.2

Espandi $(x + 2) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = x (x + 2) + 2 (x + 2) + 3$

Passaggio 2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) + 3$

Passaggio 2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + 3$

Passaggio 2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + 3$

Passaggio 2.1.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$y = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 + 3$

Passaggio 2.1.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = x^{2} + 2 x + 2 x + 4 + 3$

Passaggio 2.1.3.2

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$y = x^{2} + 4 x + 4 + 3$

Passaggio 2.2

Somma $4$ e $3$ .

$y = x^{2} + 4 x + 7$

Passaggio 3

Supponi che $y = x^{2}$ sia $f (x) = x^{2}$ e $y = {(x + 2)}^{2} + 3$ sia $g (x) = x^{2} + 4 x + 7$ .

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = x^{2} + 4 x + 7$

Passaggio 4

La trasformazione descritta è da $f (x) = x^{2}$ a $g (x) = x^{2} + 4 x + 7$ .

$f (x) = x^{2} \to g (x) = x^{2} + 4 x + 7$

Passaggio 5

Trova la forma del vertice di $g (x) = x^{2} + 4 x + 7$ .

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Passaggio 5.1

Completa il quadrato per $x^{2} + 4 x + 7$ .

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Passaggio 5.1.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 7$

Passaggio 5.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 5.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 5.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

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Passaggio 5.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.1.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Passaggio 5.1.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{2}{1}$

Passaggio 5.1.3.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$d = 2$

Passaggio 5.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Passaggio 5.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 7 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $4^{2}$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1.1.1

Scomponi $4$ da $4^{2}$ .

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.4.2.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.2.1.1.2.1

Scomponi $4$ da $4 \cdot 1$ .

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Passaggio 5.1.4.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 5.1.4.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 7 - \frac{4}{1}$

Passaggio 5.1.4.2.1.1.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$e = 7 - 1 \cdot 4$

Passaggio 5.1.4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = 7 - 4$

Passaggio 5.1.4.2.2

Sottrai $4$ da $7$ .

$e = 3$

Passaggio 5.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di ${(x + 2)}^{2} + 3$ .

${(x + 2)}^{2} + 3$

Passaggio 5.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = {(x + 2)}^{2} + 3$

Passaggio 6

La traslazione orizzontale dipende dal valore di $h$ . La traslazione orizzontale è descritta come:

$g (x) = f (x + h)$ - Il grafico è traslato a sinistra di $h$ unità.

$g (x) = f (x - h)$ - Il grafico è traslato a destra di $h$ unità.

Traslazione orizzontale: $2$ unità a sinistra

Passaggio 7

La traslazione verticale dipende dal valore di $k$ . La traslazione verticale è descritta come:

$g (x) = f (x) + k$ - Il grafico è traslato verso l'alto di $k$ unità.

$g (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Traslazione verticale: verso l'alto di $3$ unità

Passaggio 8

Il grafico è riflesso sull'asse x quando $g (x) = - f (x)$ .

Riflessione sull'asse x: nessuna

Passaggio 9

Il grafico è riflesso sull'asse y quando $g (x) = f (- x)$ .

Riflessione sull'asse y: nessuna

Passaggio 10

Compressione e allungamento dipendono dal valore di $a$ .

Quando $a$ è maggiore di $1$ : in dilatazione verticale

Quando $a$ rientra nell'intervallo $0$ - $1$ : in compressione verticale

Compressione o dilatazione verticale: no

Passaggio 11

Confronta ed elenca le trasformazioni.

Funzione base: $y = x^{2}$

Traslazione orizzontale: $2$ unità a sinistra

Traslazione verticale: verso l'alto di $3$ unità

Riflessione sull'asse x: nessuna

Riflessione sull'asse y: nessuna

Compressione o dilatazione verticale: no

Passaggio 12