Algebra Esempi

$x + y^{2} = 4 y - 1$

Passaggio 1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4 y - 1 - y^{2}$

Passaggio 2

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica $4 y - 1 - y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Sposta $- 1$ .

$x = 4 y - y^{2} - 1$

Passaggio 2.1.1.2

Riordina $4 y$ e $- y^{2}$ .

$x = - y^{2} + 4 y - 1$

Passaggio 2.1.2

Completa il quadrato per $- y^{2} + 4 y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 4$

$c = - 1$

Passaggio 2.1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.1.2.3.2.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Passaggio 2.1.2.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$d = - 2$

Passaggio 2.1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 2.1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $4^{2}$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.2.1.1.1

Scomponi $4$ da $4^{2}$ .

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 2.1.2.4.2.1.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{4}{- 1}$ .

$e = - 1 - (- 1 \cdot 4)$

Passaggio 2.1.2.4.2.1.2

Moltiplica $- (- 1 \cdot 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = - 1 - - 4$

Passaggio 2.1.2.4.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$e = - 1 + 4$

Passaggio 2.1.2.4.2.2

Somma $- 1$ e $4$ .

$e = 3$

Passaggio 2.1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- {(y - 2)}^{2} + 3$ .

$- {(y - 2)}^{2} + 3$

Passaggio 2.1.3

Imposta $x$ uguale al nuovo lato destro.

$x = - {(y - 2)}^{2} + 3$

Passaggio 2.2

Utilizza la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 1$

$h = 3$

$k = 2$

Passaggio 2.3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola è rivolta a sinistra.

Rivolta a sinistra

Passaggio 2.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(3, 2)$

Passaggio 2.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 2.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 2.5.3

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

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Passaggio 2.5.3.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 2.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4}$

Passaggio 2.6

Trova il fuoco.

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Passaggio 2.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata x $h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 2.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{11}{4}, 2)$

Passaggio 2.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$y = 2$

Passaggio 2.8

Trova la direttrice.

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Passaggio 2.8.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata x $h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 2.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $h$ nella formula e semplifica.

$x = \frac{13}{4}$

Passaggio 2.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(3, 2)$

Fuoco: $(\frac{11}{4}, 2)$

Asse di simmetria: $y = 2$

Direttrice: $x = \frac{13}{4}$

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(3, 2)$

Fuoco: $(\frac{11}{4}, 2)$

Asse di simmetria: $y = 2$

Direttrice: $x = \frac{13}{4}$

Passaggio 3

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

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Passaggio 3.1

Sostituisci il valore $1$ di $x$ in $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (x - 3)}$ . In questo caso, il punto è $(1, 3.41421356)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 2 + \sqrt{- 1 ((1) - 3)}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Sottrai $3$ da $1$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (1) = 2 + \sqrt{2}$

Passaggio 3.1.2.2

La risposta finale è $2 + \sqrt{2}$ .

$y = 2 + \sqrt{2}$

Passaggio 3.1.3

Converti $2 + \sqrt{2}$ in decimale.

$= 3.41421356$

Passaggio 3.2

Sostituisci il valore $1$ di $x$ in $f (x) = 2 - \sqrt{- 1 (x - 3)}$ . In questo caso, il punto è $(1, 0.58578643)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 2 - \sqrt{- 1 ((1) - 3)}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Sottrai $3$ da $1$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (1) = 2 - \sqrt{2}$

Passaggio 3.2.2.2

La risposta finale è $2 - \sqrt{2}$ .

$y = 2 - \sqrt{2}$

Passaggio 3.2.3

Converti $2 - \sqrt{2}$ in decimale.

$= 0.58578643$

Passaggio 3.3

Sostituisci il valore $2$ di $x$ in $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (x - 3)}$ . In questo caso, il punto è $(2, 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = 2 + \sqrt{- 1 ((2) - 3)}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Sottrai $3$ da $2$ .

$f (2) = 2 + \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (2) = 2 + \sqrt{1}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (2) = 2 + 1$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$f (2) = 3$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $3$ .

$y = 3$

Passaggio 3.3.3

Converti $3$ in decimale.

$= 3$

Passaggio 3.4

Sostituisci il valore $2$ di $x$ in $f (x) = 2 - \sqrt{- 1 (x - 3)}$ . In questo caso, il punto è $(2, 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = 2 - \sqrt{- 1 ((2) - 3)}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Sottrai $3$ da $2$ .

$f (2) = 2 - \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (2) = 2 - \sqrt{1}$

Passaggio 3.4.2.1.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (2) = 2 - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (2) = 2 - 1$

Passaggio 3.4.2.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (2) = 1$

Passaggio 3.4.2.3

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 3.4.3

Converti $1$ in decimale.

$= 1$

Passaggio 3.5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3.41 \\ 1 & 0.59 \\ 2 & 3 \\ 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}$

Passaggio 4

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(3, 2)$

Fuoco: $(\frac{11}{4}, 2)$

Asse di simmetria: $y = 2$

Direttrice: $x = \frac{13}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3.41 \\ 1 & 0.59 \\ 2 & 3 \\ 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}$

Passaggio 5