Algebra Esempi

$- 3 x^{4} - 20 x^{3} + 7 x^{2} \leq 0$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$- 3 x^{4} - 20 x^{3} + 7 x^{2} = 0$

Passaggio 2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $- x^{2}$ da $- 3 x^{4} - 20 x^{3} + 7 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $- x^{2}$ da $- 3 x^{4}$ .

$- x^{2} (3 x^{2}) - 20 x^{3} + 7 x^{2} = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $- x^{2}$ da $- 20 x^{3}$ .

$- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} (20 x) + 7 x^{2} = 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $- x^{2}$ da $7 x^{2}$ .

$- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} (20 x) - x^{2} \cdot - 7 = 0$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $- x^{2}$ da $- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} (20 x)$ .

$- x^{2} (3 x^{2} + 20 x) - x^{2} \cdot - 7 = 0$

Passaggio 2.1.5

Scomponi $- x^{2}$ da $- x^{2} (3 x^{2} + 20 x) - x^{2} (- 7)$ .

$- x^{2} (3 x^{2} + 20 x - 7) = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 7 = - 21$ e la cui somma è $b = 20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Scomponi $20$ da $20 x$ .

$- x^{2} (3 x^{2} + 20 (x) - 7) = 0$

Passaggio 2.2.1.1.2

Riscrivi $20$ come $- 1$ più $21$ .

$- x^{2} (3 x^{2} + (- 1 + 21) x - 7) = 0$

Passaggio 2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- x^{2} (3 x^{2} - 1 x + 21 x - 7) = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- x^{2} ((3 x^{2} - 1 x) + 21 x - 7) = 0$

Passaggio 2.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- x^{2} (x (3 x - 1) + 7 (3 x - 1)) = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x - 1$ .

$- x^{2} ((3 x - 1) (x + 7)) = 0$

Passaggio 2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- x^{2} (3 x - 1) (x + 7) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$3 x - 1 = 0$

$x + 7 = 0$

Passaggio 4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $3 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 1$

Passaggio 5.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 6

Imposta $x + 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $x + 7$ uguale a $0$ .

$x + 7 = 0$

Passaggio 6.2

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 7$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- x^{2} (3 x - 1) (x + 7) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{1}{3}, - 7$

Passaggio 8

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 7$

$- 7 < x < 0$

$0 < x < \frac{1}{3}$

$x > \frac{1}{3}$

Passaggio 9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 10$

Passaggio 9.1.2

Sostituisci $x$ con $- 10$ nella diseguaglianza originale.

$- 3 {(- 10)}^{4} - 20 {(- 10)}^{3} + 7 {(- 10)}^{2} \leq 0$

Passaggio 9.1.3

Il lato sinistro di $- 9300$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 9.2

Testa un valore sull'intervallo $- 7 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 7 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 9.2.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$- 3 {(- 4)}^{4} - 20 {(- 4)}^{3} + 7 {(- 4)}^{2} \leq 0$

Passaggio 9.2.3

Il lato sinistro di $624$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 9.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{1}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{1}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.17$

Passaggio 9.3.2

Sostituisci $x$ con $0.17$ nella diseguaglianza originale.

$- 3 {(0.17)}^{4} - 20 {(0.17)}^{3} + 7 {(0.17)}^{2} \leq 0$

Passaggio 9.3.3

Il lato sinistro di $0.10153437$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 9.4

Testa un valore sull'intervallo $x > \frac{1}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \frac{1}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 9.4.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$- 3 {(3)}^{4} - 20 {(3)}^{3} + 7 {(3)}^{2} \leq 0$

Passaggio 9.4.3

Il lato sinistro di $- 720$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 9.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 7$ Vero

$- 7 < x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{3}$ Falso

$x > \frac{1}{3}$ Vero

$x < - 7$ Vero

$- 7 < x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{3}$ Falso

$x > \frac{1}{3}$ Vero

Passaggio 10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 7$ o $x \geq \frac{1}{3}$ o $x = 0$

Passaggio 11

Combina gli intervalli.

$x \leq - 7 or x = 0 or x \geq \frac{1}{3}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x \leq - 7 or x = 0 or x \geq \frac{1}{3}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 7] \cup [0, 0] \cup [\frac{1}{3}, \infty)$

Passaggio 13