Algebra Esempi

$x^{2} - 2 < \frac{7}{2} x$

Passaggio 1

Semplifica $\frac{7}{2} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi.

$x^{2} - 2 < 0 + 0 + \frac{7}{2} x$

Passaggio 1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$x^{2} - 2 < \frac{7}{2} x$

Passaggio 1.3

$\frac{7}{2}$ e $x$ .

$x^{2} - 2 < \frac{7 x}{2}$

Passaggio 2

Sottrai $\frac{7 x}{2}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} - 2 - \frac{7 x}{2} < 0$

Passaggio 3

Moltiplica per il minimo comune denominatore $2$ , quindi semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} + 2 \cdot - 2 + 2 (- \frac{7 x}{2}) < 0$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$2 x^{2} - 4 + 2 (- \frac{7 x}{2}) < 0$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{7 x}{2}$ nel numeratore.

$2 x^{2} - 4 + 2 (\frac{- 7 x}{2}) < 0$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 x^{2} - 4 + 2 (\frac{- 7 x}{2}) < 0$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{2} - 4 - 7 x < 0$

Passaggio 3.3

Sposta $- 4$ .

$2 x^{2} - 7 x - 4 < 0$

Passaggio 4

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$2 x^{2} - 7 x - 4 = 0$

Passaggio 5

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = - 7$ e $c = - 4$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 4)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1.1

Eleva $- 7$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 4$ .

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Passaggio 7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 4$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.1.3

Somma $49$ e $32$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.1.4

Riscrivi $81$ come $9^{2}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{9^{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{7 \pm 9}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{7 \pm 9}{4}$

Passaggio 8

Consolida le soluzioni.

$x = 4, - \frac{1}{2}$

Passaggio 9

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 3$

Passaggio 10.1.2

Sostituisci $x$ con $- 3$ nella diseguaglianza originale.

${(- 3)}^{2} - 2 < \frac{7}{2} \cdot (- 3)$

Passaggio 10.1.3

Il lato sinistro di $7$ non è minore del lato destro di $- 10.5$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 10.2

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{1}{2} < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{1}{2} < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 10.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

${(0)}^{2} - 2 < \frac{7}{2} \cdot (0)$

Passaggio 10.2.3

Il lato sinistro di $- 2$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 10.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 10.3.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

${(6)}^{2} - 2 < \frac{7}{2} \cdot (6)$

Passaggio 10.3.3

Il lato sinistro di $34$ non è minore del lato destro di $21$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 10.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

$x < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

Passaggio 11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- \frac{1}{2} < x < 4$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$- \frac{1}{2} < x < 4$

Notazione degli intervalli:

$(- \frac{1}{2}, 4)$

Passaggio 13