Algebra Esempi

x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x - 6

$x^{4} - 5 x^{3} + 5 x^{2} + 5 x - 6$

Passaggio 1

Raggruppa i termini.

$- 5 x^{3} + 5 x^{2} + x^{4} + 5 x - 6$

Passaggio 2

Scomponi

$- 5 x^{2}$ da

$- 5 x^{3} + 5 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi

$- 5 x^{2}$ da

$- 5 x^{3}$ .

$- 5 x^{2} (x) + 5 x^{2} + x^{4} + 5 x - 6$

Passaggio 2.2

Scomponi

$- 5 x^{2}$ da

$5 x^{2}$ .

$- 5 x^{2} (x) - 5 x^{2} (- 1) + x^{4} + 5 x - 6$

Passaggio 2.3

Scomponi

$- 5 x^{2}$ da

$- 5 x^{2} (x) - 5 x^{2} (- 1)$ .

$- 5 x^{2} (x - 1) + x^{4} + 5 x - 6$

Passaggio 3

Scomponi

$x^{4} + 5 x - 6$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma

$\frac{p}{q}$ , dove

$p$ è un fattore della costante e

$q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Passaggio 3.2

Trova ciascuna combinazione di

$\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Passaggio 3.3

Sostituisci

$1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a

$0$ quindi

$1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci

$1$ nel polinomio.

$1^{4} + 5 \cdot 1 - 6$

Passaggio 3.3.2

Eleva

$1$ alla potenza di

$4$ .

$1 + 5 \cdot 1 - 6$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica

$5$ per

$1$ .

$1 + 5 - 6$

Passaggio 3.3.4

Somma

$1$ e

$5$ .

$6 - 6$

Passaggio 3.3.5

Sottrai

$6$ da

$6$ .

$0$

Passaggio 3.4

Poiché

$1$ è una radice nota, dividi il polinomio per

$x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{4} + 5 x - 6}{x - 1}$

Passaggio 3.5

Dividi

$x^{4} + 5 x - 6$ per

$x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di

$0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

Passaggio 3.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

$x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore

$x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

Passaggio 3.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

$x^{4} - x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

Passaggio 3.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

Passaggio 3.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Passaggio 3.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

$x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore

$x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Passaggio 3.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Passaggio 3.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

$x^{3} - x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Passaggio 3.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Passaggio 3.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

Passaggio 3.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

$x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore

$x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

Passaggio 3.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

Passaggio 3.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

$x^{2} - x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

Passaggio 3.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

Passaggio 3.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

$6$

Passaggio 3.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

$6 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore

$x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

$6$

Passaggio 3.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

$6$

$6 x$

$6$

Passaggio 3.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

$6 x - 6$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

$6$

$6 x$

$6$

Passaggio 3.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$6$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$x$

$6 x$

$6$

$6 x$

$6$

$0$

Passaggio 3.5.21

Poiché il resto è

$0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{3} + x^{2} + x + 6$

Passaggio 3.6

Scrivi

$x^{4} + 5 x - 6$ come insieme di fattori.

$- 5 x^{2} (x - 1) + (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 6)$

Passaggio 4

Scomponi

$x^{3} + x^{2} + x + 6$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi

$x^{3} + x^{2} + x + 6$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma

$\frac{p}{q}$ , dove

$p$ è un fattore della costante e

$q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Passaggio 4.1.2

Trova ciascuna combinazione di

$\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci

$- 2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a

$0$ quindi

$- 2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Sostituisci

$- 2$ nel polinomio.

${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 2 + 6$

Passaggio 4.1.3.2

Eleva

$- 2$ alla potenza di

$3$ .

$- 8 + {(- 2)}^{2} - 2 + 6$

Passaggio 4.1.3.3

Eleva

$- 2$ alla potenza di

$2$ .

$- 8 + 4 - 2 + 6$

Passaggio 4.1.3.4

Somma

$- 8$ e

$4$ .

$- 4 - 2 + 6$

Passaggio 4.1.3.5

Sottrai

$2$ da

$- 4$ .

$- 6 + 6$

Passaggio 4.1.3.6

Somma

$- 6$ e

$6$ .

$0$

Passaggio 4.1.4

Poiché

$- 2$ è una radice nota, dividi il polinomio per

$x + 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + x^{2} + x + 6}{x + 2}$

Passaggio 4.1.5

Dividi

$x^{3} + x^{2} + x + 6$ per

$x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di

$0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$6$

Passaggio 4.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

$x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore

$x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$

Passaggio 4.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 4.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

$x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 4.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Passaggio 4.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 4.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

$- x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore

$x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 4.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 4.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

$- x^{2} - 2 x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 4.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$

Passaggio 4.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	+	$6$

Passaggio 4.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

$3 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore

$x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	+	$6$

Passaggio 4.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	+	$6$
							+	$3 x$	+	$6$

Passaggio 4.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

$3 x + 6$

				$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	+	$6$
							-	$3 x$	-	$6$

Passaggio 4.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	+	$6$
							-	$3 x$	-	$6$
										$0$

Passaggio 4.1.5.16

Poiché il resto è

$0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - x + 3$

Passaggio 4.1.6

Scrivi

$x^{3} + x^{2} + x + 6$ come insieme di fattori.

$- 5 x^{2} (x - 1) + (x - 1) ((x + 2) (x^{2} - x + 3))$

Passaggio 4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 5 x^{2} (x - 1) + (x - 1) (x + 2) (x^{2} - x + 3)$

Passaggio 5

Scomponi

$x - 1$ da

$- 5 x^{2} (x - 1) + (x - 1) (x + 2) (x^{2} - x + 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi

$x - 1$ da

$- 5 x^{2} (x - 1)$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2}) + (x - 1) (x + 2) (x^{2} - x + 3)$

Passaggio 5.2

Scomponi

$x - 1$ da

$(x - 1) (x + 2) (x^{2} - x + 3)$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2}) + (x - 1) ((x + 2) (x^{2} - x + 3))$

Passaggio 5.3

Scomponi

$x - 1$ da

$(x - 1) (- 5 x^{2}) + (x - 1) ((x + 2) (x^{2} - x + 3))$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + (x + 2) (x^{2} - x + 3))$

Passaggio 6

Espandi

$(x + 2) (x^{2} - x + 3)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Passaggio 7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica

$x$ per

$x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Moltiplica

$x$ per

$x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1.1

Eleva

$x$ alla potenza di

$1$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{1} x^{2} + x (- x) + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Passaggio 7.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{1 + 2} + x (- x) + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Passaggio 7.1.2

Somma

$1$ e

$2$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} + x (- x) + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Passaggio 7.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - x \cdot x + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Passaggio 7.3

Moltiplica

$x$ per

$x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Sposta

$x$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - (x \cdot x) + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica

$x$ per

$x$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - x^{2} + x \cdot 3 + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Passaggio 7.4

Sposta

$3$ alla sinistra di

$x$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - x^{2} + 3 x + 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 \cdot 3)$

Passaggio 7.5

Moltiplica

$- 1$ per

$2$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - x^{2} + 3 x + 2 x^{2} - 2 x + 2 \cdot 3)$

Passaggio 7.6

Moltiplica

$2$ per

$3$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} - x^{2} + 3 x + 2 x^{2} - 2 x + 6)$

Passaggio 8

Somma

$- x^{2}$ e

$2 x^{2}$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} + x^{2} + 3 x - 2 x + 6)$

Passaggio 9

Sottrai

$2 x$ da

$3 x$ .

$(x - 1) (- 5 x^{2} + x^{3} + x^{2} + x + 6)$

Passaggio 10

Somma

$- 5 x^{2}$ e

$x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{3} - 4 x^{2} + x + 6)$

Passaggio 11

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Riscrivi

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Scomponi

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma

$\frac{p}{q}$ , dove

$p$ è un fattore della costante e

$q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Passaggio 11.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di

$\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Passaggio 11.1.1.3

Sostituisci

$- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a

$0$ quindi

$- 1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1.3.1

Sostituisci

$- 1$ nel polinomio.

${(- 1)}^{3} - 4 {(- 1)}^{2} - 1 + 6$

Passaggio 11.1.1.3.2

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$3$ .

$- 1 - 4 {(- 1)}^{2} - 1 + 6$

Passaggio 11.1.1.3.3

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$2$ .

$- 1 - 4 \cdot 1 - 1 + 6$

Passaggio 11.1.1.3.4

Moltiplica

$- 4$ per

$1$ .

$- 1 - 4 - 1 + 6$

Passaggio 11.1.1.3.5

Sottrai

$4$ da

$- 1$ .

$- 5 - 1 + 6$

Passaggio 11.1.1.3.6

Sottrai

$1$ da

$- 5$ .

$- 6 + 6$

Passaggio 11.1.1.3.7

Somma

$- 6$ e

$6$ .

$0$

Passaggio 11.1.1.4

Poiché

$- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per

$x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + x + 6}{x + 1}$

Passaggio 11.1.1.5

Dividi

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ per

$x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di

$0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$6$

Passaggio 11.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

$x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore

$x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$

Passaggio 11.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 11.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

$x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 11.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Passaggio 11.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$

Passaggio 11.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

$- 5 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore

$x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$

Passaggio 11.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Passaggio 11.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

$- 5 x^{2} - 5 x$

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Passaggio 11.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$

Passaggio 11.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$

Passaggio 11.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo

$6 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore

$x$ .

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$

Passaggio 11.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

Passaggio 11.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in

$6 x + 6$

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

Passaggio 11.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$5 x$	+	$6$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$6 x$	+	$6$
							-	$6 x$	-	$6$
										$0$

Passaggio 11.1.1.5.16

Poiché il resto è

$0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 5 x + 6$

Passaggio 11.1.1.6

Scrivi

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ come insieme di fattori.

$(x - 1) ((x + 1) (x^{2} - 5 x + 6))$

Passaggio 11.1.2

Scomponi

$x^{2} - 5 x + 6$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.1

Scomponi

$x^{2} - 5 x + 6$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.1.1

Considera la forma

$x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è

$c$ e la cui formula è

$b$ . In questo caso, il cui prodotto è

$6$ e la cui somma è

$- 5$ .

$- 3, - 2$

Passaggio 11.1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 1) ((x + 1) ((x - 3) (x - 2)))$

Passaggio 11.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 1) ((x + 1) (x - 3) (x - 2))$

Passaggio 11.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 1) (x + 1) (x - 3) (x - 2)$