Algebra Esempi

$\frac{x}{x - 2} + 2 = \frac{8}{x^{2} - 4}$

Passaggio 1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{x}{x - 2} + 2 = \frac{8}{x^{2} - 2^{2}}$

Passaggio 1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{x}{x - 2} + 2 = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x - 2, 1, (x + 2) (x - 2)$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $x - 2$ è $x - 2$ stesso.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $x + 2$ è $x + 2$ stesso.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il fattore di $x - 2$ è $x - 2$ stesso.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.8

Il minimo comune multiplo di $x - 2, x + 2, x - 2$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(x - 2) (x + 2)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(x - 2) (x + 2)$ ciascun termine in $\frac{x}{x - 2} + 2 = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{x}{x - 2} + 2 = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)}$ per $(x - 2) (x + 2)$ .

$\frac{x}{x - 2} ((x - 2) (x + 2)) + 2 ((x - 2) (x + 2)) = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{x - 2} ((x - 2) (x + 2)) + 2 ((x - 2) (x + 2)) = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x (x + 2) + 2 ((x - 2) (x + 2)) = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 2 + 2 ((x - 2) (x + 2)) = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + x \cdot 2 + 2 ((x - 2) (x + 2)) = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.2.1.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot x + 2 ((x - 2) (x + 2)) = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.2.1.5

Espandi $(x - 2) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 2 x + 2 (x (x + 2) - 2 (x + 2)) = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.2.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 2 x + 2 (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2)) = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.2.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 2 x + 2 (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2) = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.2.1.6

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.6.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot 2$ e $- 2 x$ .

$x^{2} + 2 x + 2 (x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2) = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.2.1.6.2

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$x^{2} + 2 x + 2 (x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2) = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.2.1.6.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$x^{2} + 2 x + 2 (x \cdot x - 2 \cdot 2) = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.2.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.7.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + 2 x + 2 (x^{2} - 2 \cdot 2) = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.2.1.7.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$x^{2} + 2 x + 2 (x^{2} - 4) = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.2.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} + 2 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 4 = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.2.1.9

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$x^{2} + 2 x + 2 x^{2} - 8 = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.2.2

Somma $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $(x - 2) (x + 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $(x - 2) (x + 2)$ da $(x + 2) (x - 2)$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 = \frac{8}{(x - 2) (x + 2) (1)} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$3 x^{2} + 2 x - 8 = \frac{8}{(x - 2) (x + 2) \cdot 1} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$3 x^{2} + 2 x - 8 = 8$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} + 2 x - 8 - 8 = 0$

Passaggio 4.2

Sottrai $8$ da $- 8$ .

$3 x^{2} + 2 x - 16 = 0$

Passaggio 4.3

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 16 = - 48$ e la cui somma è $b = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 16 = 0$

Passaggio 4.3.1.2

Riscrivi $2$ come $- 6$ più $8$ .

$3 x^{2} + (- 6 + 8) x - 16 = 0$

Passaggio 4.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} - 6 x + 8 x - 16 = 0$

Passaggio 4.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(3 x^{2} - 6 x) + 8 x - 16 = 0$

Passaggio 4.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$3 x (x - 2) + 8 (x - 2) = 0$

Passaggio 4.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 2$ .

$(x - 2) (3 x + 8) = 0$

Passaggio 4.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$3 x + 8 = 0$

Passaggio 4.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 4.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 4.6

Imposta $3 x + 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Imposta $3 x + 8$ uguale a $0$ .

$3 x + 8 = 0$

Passaggio 4.6.2

Risolvi $3 x + 8 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 8$

Passaggio 4.6.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 8$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Passaggio 4.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Passaggio 4.6.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 8}{3}$

Passaggio 4.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{8}{3}$

Passaggio 4.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 2) (3 x + 8) = 0$ vera.

$x = 2, - \frac{8}{3}$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{x}{x - 2} + 2 = \frac{8}{x^{2} - 4}$ vera.

$x = - \frac{8}{3}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - \frac{8}{3}$

Forma decimale:

$x = - 2.\overline{6}$

Forma numero misto:

$x = - 2 \frac{2}{3}$