Algebra Esempi

$1 - \frac{2}{x - 4} = - \frac{16}{x^{2} - 16}$

Passaggio 1

Scomponi ogni termine.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$1 - \frac{2}{x - 4} = - \frac{16}{x^{2} - 4^{2}}$

Passaggio 1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 4$ .

$1 - \frac{2}{x - 4} = - \frac{16}{(x + 4) (x - 4)}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x - 4, (x + 4) (x - 4)$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $x - 4$ è $x - 4$ stesso.

$(x - 4) = x - 4$

$(x - 4)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $x + 4$ è $x + 4$ stesso.

$(x + 4) = x + 4$

$(x + 4)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il fattore di $x - 4$ è $x - 4$ stesso.

$(x - 4) = x - 4$

$(x - 4)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.8

Il minimo comune multiplo di $x - 4, x + 4, x - 4$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(x - 4) (x + 4)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(x - 4) (x + 4)$ ciascun termine in $1 - \frac{2}{x - 4} = - \frac{16}{(x + 4) (x - 4)}$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $1 - \frac{2}{x - 4} = - \frac{16}{(x + 4) (x - 4)}$ per $(x - 4) (x + 4)$ .

$1 ((x - 4) (x + 4)) - \frac{2}{x - 4} ((x - 4) (x + 4)) = - \frac{16}{(x + 4) (x - 4)} ((x - 4) (x + 4))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $(x - 4) (x + 4)$ per $1$ .

$(x - 4) (x + 4) - \frac{2}{x - 4} ((x - 4) (x + 4)) = - \frac{16}{(x + 4) (x - 4)} ((x - 4) (x + 4))$

Passaggio 3.2.1.2

Espandi $(x - 4) (x + 4)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (x + 4) - 4 (x + 4) - \frac{2}{x - 4} ((x - 4) (x + 4)) = - \frac{16}{(x + 4) (x - 4)} ((x - 4) (x + 4))$

Passaggio 3.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 4 - 4 (x + 4) - \frac{2}{x - 4} ((x - 4) (x + 4)) = - \frac{16}{(x + 4) (x - 4)} ((x - 4) (x + 4))$

Passaggio 3.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4 - \frac{2}{x - 4} ((x - 4) (x + 4)) = - \frac{16}{(x + 4) (x - 4)} ((x - 4) (x + 4))$

Passaggio 3.2.1.3

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4$ .

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Passaggio 3.2.1.3.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot 4$ e $- 4 x$ .

$x \cdot x + 4 x - 4 x - 4 \cdot 4 - \frac{2}{x - 4} ((x - 4) (x + 4)) = - \frac{16}{(x + 4) (x - 4)} ((x - 4) (x + 4))$

Passaggio 3.2.1.3.2

Sottrai $4 x$ da $4 x$ .

$x \cdot x + 0 - 4 \cdot 4 - \frac{2}{x - 4} ((x - 4) (x + 4)) = - \frac{16}{(x + 4) (x - 4)} ((x - 4) (x + 4))$

Passaggio 3.2.1.3.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$x \cdot x - 4 \cdot 4 - \frac{2}{x - 4} ((x - 4) (x + 4)) = - \frac{16}{(x + 4) (x - 4)} ((x - 4) (x + 4))$

Passaggio 3.2.1.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.4.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} - 4 \cdot 4 - \frac{2}{x - 4} ((x - 4) (x + 4)) = - \frac{16}{(x + 4) (x - 4)} ((x - 4) (x + 4))$

Passaggio 3.2.1.4.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$x^{2} - 16 - \frac{2}{x - 4} ((x - 4) (x + 4)) = - \frac{16}{(x + 4) (x - 4)} ((x - 4) (x + 4))$

Passaggio 3.2.1.5

Elimina il fattore comune di $x - 4$ .

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Passaggio 3.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{x - 4}$ nel numeratore.

$x^{2} - 16 + \frac{- 2}{x - 4} ((x - 4) (x + 4)) = - \frac{16}{(x + 4) (x - 4)} ((x - 4) (x + 4))$

Passaggio 3.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} - 16 + \frac{- 2}{x - 4} ((x - 4) (x + 4)) = - \frac{16}{(x + 4) (x - 4)} ((x - 4) (x + 4))$

Passaggio 3.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} - 16 - 2 (x + 4) = - \frac{16}{(x + 4) (x - 4)} ((x - 4) (x + 4))$

Passaggio 3.2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - 16 - 2 x - 2 \cdot 4 = - \frac{16}{(x + 4) (x - 4)} ((x - 4) (x + 4))$

Passaggio 3.2.1.7

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$x^{2} - 16 - 2 x - 8 = - \frac{16}{(x + 4) (x - 4)} ((x - 4) (x + 4))$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $8$ da $- 16$ .

$x^{2} - 2 x - 24 = - \frac{16}{(x + 4) (x - 4)} ((x - 4) (x + 4))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $(x - 4) (x + 4)$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{16}{(x + 4) (x - 4)}$ nel numeratore.

$x^{2} - 2 x - 24 = \frac{- 16}{(x + 4) (x - 4)} ((x - 4) (x + 4))$

Passaggio 3.3.1.2

Scomponi $(x - 4) (x + 4)$ da $(x + 4) (x - 4)$ .

$x^{2} - 2 x - 24 = \frac{- 16}{(x - 4) (x + 4) (1)} ((x - 4) (x + 4))$

Passaggio 3.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$x^{2} - 2 x - 24 = \frac{- 16}{(x - 4) (x + 4) \cdot 1} ((x - 4) (x + 4))$

Passaggio 3.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} - 2 x - 24 = - 16$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 4.1

Somma $16$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 2 x - 24 + 16 = 0$

Passaggio 4.2

Somma $- 24$ e $16$ .

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Passaggio 4.3

Scomponi $x^{2} - 2 x - 8$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 8$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 4, 2$

Passaggio 4.3.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 4) (x + 2) = 0$

Passaggio 4.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 4.5

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.5.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 4.5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 4.6

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.6.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 4.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 4) (x + 2) = 0$ vera.

$x = 4, - 2$