Algebra Esempi

$A = [\begin{array}{c} 1 & 2 & - 2 \\ 2 & 1 & - 4 \\ 3 & 0 & - 6 \end{array}]$

Passaggio 1

Scegli la riga o la colonna con il maggior numero di elementi $0$ . Se non ci sono elementi $0$ scegli una qualsiasi riga o colonna. Moltiplica ogni elemento nella colonna $2$ per il proprio cofattore e somma.

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Passaggio 1.1

Considera il grafico dei segni corrispondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

Il cofattore è il minore con il segno cambiato se, sul grafico dei segni, agli indici è assegnata una posizione $-$ .

Passaggio 1.3

Il minore per $a_{12}$ è il determinante con riga $1$ e colonna $2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 3 & - 6 \end{array} |$

Passaggio 1.4

Moltiplica l'elemento $a_{12}$ per il suo cofattore.

$- 2 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 3 & - 6 \end{array} |$

Passaggio 1.5

Il minore per $a_{22}$ è il determinante con riga $2$ e colonna $2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 6 \end{array} |$

Passaggio 1.6

Moltiplica l'elemento $a_{22}$ per il suo cofattore.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 6 \end{array} |$

Passaggio 1.7

Il minore per $a_{32}$ è il determinante con riga $3$ e colonna $2$ eliminate.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 1.8

Moltiplica l'elemento $a_{32}$ per il suo cofattore.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 1.9

Somma i termini.

$- 2 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 3 & - 6 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 6 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & - 4 \end{array} |$ .

$- 2 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 3 & - 6 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 6 \end{array} | + 0$

Passaggio 3

Calcola $| \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 3 & - 6 \end{array} |$ .

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Passaggio 3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 (2 \cdot - 6 - 3 \cdot - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 6 \end{array} | + 0$

Passaggio 3.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$- 2 (- 12 - 3 \cdot - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 6 \end{array} | + 0$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $- 4$ .

$- 2 (- 12 + 12) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 6 \end{array} | + 0$

Passaggio 3.2.2

Somma $- 12$ e $12$ .

$- 2 \cdot 0 + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 6 \end{array} | + 0$

Passaggio 4

Calcola $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 3 & - 6 \end{array} |$ .

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Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 \cdot 0 + 1 (1 \cdot - 6 - 3 \cdot - 2) + 0$

Passaggio 4.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$- 2 \cdot 0 + 1 (- 6 - 3 \cdot - 2) + 0$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$- 2 \cdot 0 + 1 (- 6 + 6) + 0$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 6$ e $6$ .

$- 2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0$

Passaggio 5

Semplifica il determinante.

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Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.1

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$0 + 1 \cdot 0 + 0$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 + 0 + 0$

Passaggio 5.2

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 5.3

Somma $0$ e $0$ .

$0$