Algebra Esempi

$2 \sqrt{x + 3} \leq 8$

Passaggio 1

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${(2 \sqrt{x + 3})}^{2} \leq 8^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 3}$ come ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 8^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 8^{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 8^{2}$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 8^{2}$

Passaggio 2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 8^{2}$

Passaggio 2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 {(x + 3)}^{1} \leq 8^{2}$

Passaggio 2.2.1.4

Semplifica.

$4 (x + 3) \leq 8^{2}$

Passaggio 2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$4 x + 4 \cdot 3 \leq 8^{2}$

Passaggio 2.2.1.6

Moltiplica $4$ per $3$ .

$4 x + 12 \leq 8^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$4 x + 12 \leq 64$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro della diseguaglianza.

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Passaggio 3.1.1

Sottrai $12$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$4 x \leq 64 - 12$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $12$ da $64$ .

$4 x \leq 52$

Passaggio 3.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x \leq 52$ e semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x \leq 52$ .

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{52}{4}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{52}{4}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{52}{4}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.3.1

Dividi $52$ per $4$ .

$x \leq 13$

Passaggio 4

Trova il dominio di $2 \sqrt{x + 3} - 8$ .

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Passaggio 4.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x + 3}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x + 3 \geq 0$

Passaggio 4.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq - 3$

Passaggio 4.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[- 3, \infty)$

Passaggio 5

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 3$

$- 3 < x < 13$

$x > 13$

Passaggio 6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$2 \sqrt{(- 6) + 3} \leq 8$

Passaggio 6.1.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

Falso

Passaggio 6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < 13$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < 13$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 6.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$2 \sqrt{(0) + 3} \leq 8$

Passaggio 6.2.3

Il lato sinistro di $3.46410161$ è minore del lato destro di $8$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 13$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 13$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 16$

Passaggio 6.3.2

Sostituisci $x$ con $16$ nella diseguaglianza originale.

$2 \sqrt{(16) + 3} \leq 8$

Passaggio 6.3.3

Il lato sinistro di $8.71779788$ è maggiore del lato destro di $8$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 13$ Vero

$x > 13$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 13$ Vero

$x > 13$ Falso

Passaggio 7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 3 \leq x \leq 13$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$- 3 \leq x \leq 13$

Notazione degli intervalli:

$[- 3, 13]$

Passaggio 9