Algebra Esempi

$5^{x + 4} = y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $y = 5^{x + 4}$ .

$y = 5^{x + 4}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 5^{y + 4}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $5^{y + 4} = x$ .

$5^{y + 4} = x$

Passaggio 3.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (5^{y + 4}) = \ln (x)$

Passaggio 3.3

Espandi $\ln (5^{y + 4})$ spostando $y + 4$ fuori dal logaritmo.

$(y + 4) \ln (5) = \ln (x)$

Passaggio 3.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$y \ln (5) + 4 \ln (5) = \ln (x)$

Passaggio 3.5

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$y \ln (5) + 4 \ln (5) - \ln (x) = 0$

Passaggio 3.6

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Sottrai $4 \ln (5)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y \ln (5) - \ln (x) = - 4 \ln (5)$

Passaggio 3.6.2

Somma $\ln (x)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y \ln (5) = - 4 \ln (5) + \ln (x)$

Passaggio 3.7

Dividi per $\ln (5)$ ciascun termine in $y \ln (5) = - 4 \ln (5) + \ln (x)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Dividi per $\ln (5)$ ciascun termine in $y \ln (5) = - 4 \ln (5) + \ln (x)$ .

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 4 \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Passaggio 3.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 4 \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Passaggio 3.7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 4 \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.3.1

Elimina il fattore comune di $\ln (5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{- 4 \ln (5)}{\ln (5)} + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Passaggio 3.7.3.1.2

Dividi $- 4$ per $1$ .

$y = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ è l'inverso di $f (x) = 5^{x + 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} \cdot 5^{x + 4}$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = - 4 + \frac{\ln (5^{x + 4})}{\ln (5)}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Espandi $\ln (5^{x + 4})$ spostando $x + 4$ fuori dal logaritmo.

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = - 4 + \frac{(x + 4) \ln (5)}{\ln (5)}$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina il fattore comune di $\ln (5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = - 4 + \frac{(x + 4) \ln (5)}{\ln (5)}$

Passaggio 5.2.3.2.2

Dividi $x + 4$ per $1$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = - 4 + x + 4$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $- 4 + x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Somma $- 4$ e $4$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = x + 0$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x + 4} = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{(- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) + 4}$

Passaggio 5.3.3

Combina i termini opposti in $(- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Somma $- 4$ e $4$ .

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{0 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}}$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $0$ e $\frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ .

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\frac{\ln (x)}{\ln (5)}}$

Passaggio 5.3.4

Usa la variazione della regola base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\log_{5} (x)}$

Passaggio 5.3.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (- 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ è l'inverso di $f (x) = 5^{x + 4}$ .

$f^{- 1} (x) = - 4 + \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$