Algebra Esempi

${(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 25$

Passaggio 1

Poiché $x = r \cos (θ)$ , sostituisci $x$ con $r \cos (θ)$ .

${((r \cos (θ)) - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 25$

Passaggio 2

Poiché $y = r \sin (θ)$ , sostituisci $y$ con $r \sin (θ)$ .

${((r \cos (θ)) - 3)}^{2} + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} = 25$

Passaggio 3

Risolvi per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sottrai $25$ da entrambi i lati dell'equazione.

${((r \cos (θ)) - 3)}^{2} + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Riscrivi ${(r \cos (θ) - 3)}^{2}$ come $(r \cos (θ) - 3) (r \cos (θ) - 3)$ .

$(r \cos (θ) - 3) (r \cos (θ) - 3) + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Espandi $(r \cos (θ) - 3) (r \cos (θ) - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$r \cos (θ) (r \cos (θ) - 3) - 3 (r \cos (θ) - 3) + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Passaggio 3.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ) - 3) + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Passaggio 3.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Passaggio 3.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.3.1.1

Moltiplica $r$ per $r$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.3.1.1.1

Sposta $r$ .

$r \cdot r \cos (θ) \cos (θ) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Passaggio 3.2.1.3.1.1.2

Moltiplica $r$ per $r$ .

$r^{2} \cos (θ) \cos (θ) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Passaggio 3.2.1.3.1.2

Moltiplica $r^{2} \cos (θ) \cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.3.1.2.1

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

$r^{2} (\cos (θ) \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Passaggio 3.2.1.3.1.2.2

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

$r^{2} (\cos (θ) \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Passaggio 3.2.1.3.1.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$r^{2} {\cos (θ)}^{1 + 1} + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Passaggio 3.2.1.3.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Passaggio 3.2.1.3.1.3

Sposta $- 3$ alla sinistra di $r \cos (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 3 \cdot (r \cos (θ)) - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Passaggio 3.2.1.3.1.4

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 3 r \cos (θ) - 3 r \cos (θ) + 9 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Passaggio 3.2.1.3.2

Sottrai $3 r \cos (θ)$ da $- 3 r \cos (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

Passaggio 3.2.1.4

Riscrivi ${(r \sin (θ) + 4)}^{2}$ come $(r \sin (θ) + 4) (r \sin (θ) + 4)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + (r \sin (θ) + 4) (r \sin (θ) + 4) - 25 = 0$

Passaggio 3.2.1.5

Espandi $(r \sin (θ) + 4) (r \sin (θ) + 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \sin (θ) (r \sin (θ) + 4) + 4 (r \sin (θ) + 4) - 25 = 0$

Passaggio 3.2.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \sin (θ) (r \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ) + 4) - 25 = 0$

Passaggio 3.2.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \sin (θ) (r \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Passaggio 3.2.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.6.1.1

Moltiplica $r$ per $r$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.6.1.1.1

Sposta $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \cdot r \sin (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Passaggio 3.2.1.6.1.1.2

Moltiplica $r$ per $r$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Passaggio 3.2.1.6.1.2

Moltiplica $r^{2} \sin (θ) \sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.6.1.2.1

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} (\sin (θ) \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Passaggio 3.2.1.6.1.2.2

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} (\sin (θ) \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Passaggio 3.2.1.6.1.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} {\sin (θ)}^{1 + 1} + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Passaggio 3.2.1.6.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Passaggio 3.2.1.6.1.3

Sposta $4$ alla sinistra di $r \sin (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + 4 \cdot (r \sin (θ)) + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

Passaggio 3.2.1.6.1.4

Moltiplica $4$ per $4$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + 4 r \sin (θ) + 4 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Passaggio 3.2.1.6.2

Somma $4 r \sin (θ)$ e $4 r \sin (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Passaggio 3.2.2

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Sposta $r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Passaggio 3.2.2.2

Scomponi $r^{2}$ da $r^{2} \cos^{2} (θ)$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Passaggio 3.2.2.3

Scomponi $r^{2}$ da $r^{2} \sin^{2} (θ)$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ)) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Passaggio 3.2.2.4

Scomponi $r^{2}$ da $r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ))$ .

$r^{2} (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Passaggio 3.2.3

Rimetti in ordine i termini.

$r^{2} (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Passaggio 3.2.4

Applica l'identità pitagorica.

$r^{2} \cdot 1 - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Passaggio 3.2.5

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Moltiplica $r^{2}$ per $1$ .

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

Passaggio 3.2.5.2

Somma $9$ e $16$ .

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) + 25 - 25 = 0$

Passaggio 3.2.5.3

Combina i termini opposti in $r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) + 25 - 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.3.1

Sottrai $25$ da $25$ .

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) + 0 = 0$

Passaggio 3.2.5.3.2

Somma $r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ)$ e $0$ .

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi $r$ da $r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $r$ da $r^{2}$ .

$r \cdot r - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) = 0$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $r$ da $- 6 r \cos (θ)$ .

$r \cdot r + r (- 6 \cos (θ)) + 8 r \sin (θ) = 0$

Passaggio 3.3.3

Scomponi $r$ da $8 r \sin (θ)$ .

$r \cdot r + r (- 6 \cos (θ)) + r (8 \sin (θ)) = 0$

Passaggio 3.3.4

Scomponi $r$ da $r \cdot r + r (- 6 \cos (θ))$ .

$r (r - 6 \cos (θ)) + r (8 \sin (θ)) = 0$

Passaggio 3.3.5

Scomponi $r$ da $r (r - 6 \cos (θ)) + r (8 \sin (θ))$ .

$r (r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)) = 0$

Passaggio 3.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$r = 0$

$r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ) = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $r$ uguale a $0$ .

$r = 0$

Passaggio 3.6

Imposta $r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)$ uguale a $0$ e risolvi per $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Imposta $r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)$ uguale a $0$ .

$r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ) = 0$

Passaggio 3.6.2

Sposta tutti i termini non contenenti $r$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Somma $6 \cos (θ)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$r + 8 \sin (θ) = 6 \cos (θ)$

Passaggio 3.6.2.2

Sottrai $8 \sin (θ)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$r = 6 \cos (θ) - 8 \sin (θ)$

Passaggio 3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $r (r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)) = 0$ vera.

$r = 0$

$r = 6 \cos (θ) - 8 \sin (θ)$

$r = 0$

$r = 6 \cos (θ) - 8 \sin (θ)$