Algebra Esempi

y - 5 = f (\frac{x}{- 1})

$y - 5 = f (\frac{x}{- 1})$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai

$f (\frac{x}{- 1})$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y - 5 - f \frac{x}{- 1} = 0$

Passaggio 1.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Sposta quello negativo dal denominatore di

$\frac{x}{- 1}$ .

$y - 5 - f (- 1 \cdot x) = 0$

Passaggio 1.1.2.2

Riscrivi

$- 1 \cdot x$ come

$- x$ .

$y - 5 - f (- x) = 0$

Passaggio 1.1.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y - 5 - 1 \cdot - 1 f x = 0$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$y - 5 + 1 f x = 0$

Passaggio 1.1.2.5

Moltiplica

$f$ per

$1$ .

$y - 5 + f x = 0$

Passaggio 1.1.3

Sposta

$- 5$ .

$y + f x - 5 = 0$

Passaggio 1.1.4

Riordina

$y$ e

$f x$ .

$f x + y - 5 = 0$

Passaggio 1.2

Somma

$5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$f x + y = 5$

Passaggio 1.3

Dividi per

$5$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{f x}{5} + \frac{y}{5} = \frac{5}{5}$

Passaggio 1.4

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a

$1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia

$1$ .

$\frac{f x}{5} + \frac{y}{5} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile

$h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine,

$k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine,

$a$ .

$a = \sqrt{5}$

$b = \sqrt{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di

$(h, k)$ . Sostituisci i valori di

$h$ e

$k$ .

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova

$c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole usando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di

$a$ e

$b$ nella formula.

$\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riscrivi

${\sqrt{5}}^{2}$ come

$5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{5}$ come

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{5^{1} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{5 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi

${\sqrt{5}}^{2}$ come

$5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{5}$ come

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{5 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{5 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.2.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{5 + 5^{1}}$

Passaggio 5.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{5 + 5}$

Passaggio 5.3.3

Somma

$5$ e

$5$ .

$\sqrt{10}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando

$a$ a

$h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di

$h$ ,

$a$ e

$k$ nella formula e semplifica.

$(\sqrt{5}, 0)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo

$a$ da

$h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di

$h$ ,

$a$ e

$k$ nella formula e semplifica.

$(- \sqrt{5}, 0)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di

$(h \pm a, k)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando

$c$ a

$h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di

$h$ ,

$c$ e

$k$ nella formula e semplifica.

$(\sqrt{10}, 0)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo

$c$ da

$h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di

$h$ ,

$c$ e

$k$ nella formula e semplifica.

$(- \sqrt{10}, 0)$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di

$(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(\sqrt{10}, 0), (- \sqrt{10}, 0)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di

$a$ e

$b$ nella formula.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Riscrivi

${\sqrt{5}}^{2}$ come

$5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{5}$ come

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.1.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{5^{1} + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.1.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{5 + {\sqrt{5}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.2

Riscrivi

${\sqrt{5}}^{2}$ come

$5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{5}$ come

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\frac{\sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.2.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{5 + 5^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{5 + 5^{1}}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.2.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{5 + 5}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.1.3

Somma

$5$ e

$5$ .

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 8.3.2

Combina

$\sqrt{10}$ e

$\sqrt{5}$ in un singolo radicale.

$\sqrt{\frac{10}{5}}$

Passaggio 8.3.3

Dividi

$10$ per

$5$ .

$\sqrt{2}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di

$b$ e

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{\sqrt{10}}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Riscrivi

${\sqrt{5}}^{2}$ come

$5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{5}$ come

$5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{10}}$

Passaggio 9.3.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{10}}$

Passaggio 9.3.1.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\frac{5^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{10}}$

Passaggio 9.3.1.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{10}}$

Passaggio 9.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5^{1}}{\sqrt{10}}$

Passaggio 9.3.1.5

Calcola l'esponente.

$\frac{5}{\sqrt{10}}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica

$\frac{5}{\sqrt{10}}$ per

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{5}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Passaggio 9.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Moltiplica

$\frac{5}{\sqrt{10}}$ per

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Passaggio 9.3.3.2

Eleva

$\sqrt{10}$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Passaggio 9.3.3.3

Eleva

$\sqrt{10}$ alla potenza di

$1$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Passaggio 9.3.3.4

Usa la regola della potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.3.3.5

Somma

$1$ e

$1$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6

Riscrivi

${\sqrt{10}}^{2}$ come

$10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{10}$ come

$10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 \sqrt{10}}{10^{1}}$

Passaggio 9.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{5 \sqrt{10}}{10}$

Passaggio 9.3.4

Elimina il fattore comune di

$5$ e

$10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.1

Scomponi

$5$ da

$5 \sqrt{10}$ .

$\frac{5 (\sqrt{10})}{10}$

Passaggio 9.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.2.1

Scomponi

$5$ da

$10$ .

$\frac{5 \sqrt{10}}{5 \cdot 2}$

Passaggio 9.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \sqrt{10}}{5 \cdot 2}$

Passaggio 9.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{10}}{2}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma

$y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

Passaggio 11

Semplifica

$1 \cdot x + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Somma

$1 \cdot x$ e

$0$ .

$y = 1 \cdot x$

Passaggio 11.2

Moltiplica

$x$ per

$1$ .

$y = x$

Passaggio 12

Semplifica

$- 1 \cdot x + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Somma

$- 1 \cdot x$ e

$0$ .

$y = - 1 \cdot x$

Passaggio 12.2

Riscrivi

$- 1 x$ come

$- x$ .

$y = - x$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = x, y = - x$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro:

$(0, 0)$

Vertici:

$(\sqrt{5}, 0), (- \sqrt{5}, 0)$

Fuochi:

$(\sqrt{10}, 0), (- \sqrt{10}, 0)$

Eccentricità:

$\sqrt{2}$

Asse focale:

$\frac{\sqrt{10}}{2}$

Asintoti:

$y = x$ ,

$y = - x$

Passaggio 15