Algebra Esempi

$y = {(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = {(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come ${(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4}} = x$ .

${(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4}} = x$

Passaggio 2.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $4$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${({(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = x^{4}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ${({(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Passaggio 2.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(2^{y} - 3)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Passaggio 2.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(2^{y} - 3)}^{1} = x^{4}$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica.

$2^{y} - 3 = x^{4}$

Passaggio 2.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2^{y} = x^{4} + 3$

Passaggio 2.4.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (2^{y}) = \ln (x^{4} + 3)$

Passaggio 2.4.3

Espandi $\ln (2^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (2) = \ln (x^{4} + 3)$

Passaggio 2.4.4

Dividi per $\ln (2)$ ciascun termine in $y \ln (2) = \ln (x^{4} + 3)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Dividi per $\ln (2)$ ciascun termine in $y \ln (2) = \ln (x^{4} + 3)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}$

Passaggio 2.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}$

Passaggio 2.4.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}$ è l'inverso di $f (x) = {(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{\ln ({({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4} + 3)}{\ln (2)}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{\ln ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 3)}{\ln (2)}$

Passaggio 4.2.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{\ln ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 3)}{\ln (2)}$

Passaggio 4.2.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{\ln ((2^{x} - 3) + 3)}{\ln (2)}$

Passaggio 4.2.3.1.2

Semplifica.

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{\ln (2^{x} - 3 + 3)}{\ln (2)}$

Passaggio 4.2.3.2

Combina i termini opposti in $2^{x} - 3 + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Somma $- 3$ e $3$ .

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{\ln (2^{x} + 0)}{\ln (2)}$

Passaggio 4.2.3.2.2

Somma $2^{x}$ e $0$ .

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{\ln (2^{x})}{\ln (2)}$

Passaggio 4.2.4

Espandi $\ln (2^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

Passaggio 4.2.5

Elimina il fattore comune di $\ln (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

Passaggio 4.2.5.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} ({(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = {(2^{\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}} - 3)}^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Usa la variazione della regola base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = {(2^{\log_{2} (x^{4} + 3)} - 3)}^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 4.3.3.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = {(x^{4} + 3 - 3)}^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 4.3.4

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Combina i termini opposti in $x^{4} + 3 - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1.1

Sottrai $3$ da $3$ .

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = {(x^{4} + 0)}^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 4.3.4.1.2

Somma $x^{4}$ e $0$ .

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = {(x^{4})}^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 4.3.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{\frac{1}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = x^{4 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 4.3.4.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = x^{4 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 4.3.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}$ è l'inverso di $f (x) = {(2^{x} - 3)}^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{4} + 3)}{\ln (2)}$