Algebra Esempi

$y = x - \frac{1}{x}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $x - \frac{1}{x}$ è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 2

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 3

Trova $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Passaggio 4

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 5

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 5.1

Combina.

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Passaggio 5.1.1

Per scrivere $x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} - \frac{1}{x}$

Passaggio 5.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x \cdot x - 1}{x}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.3.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{1} x - 1}{x}$

Passaggio 5.1.3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1} - 1}{x}$

Passaggio 5.1.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 + 1} - 1}{x}$

Passaggio 5.1.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x}$

Passaggio 5.1.3.5

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x}$

Passaggio 5.1.3.6

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x}$

Passaggio 5.1.4

Semplifica.

$\frac{x^{2} - 1}{x}$

Passaggio 5.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x}$

Passaggio 5.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x}$

Passaggio 5.3

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ .

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Passaggio 5.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1)}{x}$

Passaggio 5.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{x}$

Passaggio 5.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

Passaggio 5.3.4

Riordina $x$ e $- 1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

Passaggio 5.3.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

Passaggio 5.3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

Passaggio 5.3.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

Passaggio 5.3.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{x}$

Passaggio 5.3.9

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{x}$

Passaggio 5.3.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + x - 1}{x}$

Passaggio 5.3.11

Somma $- 1 x$ e $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 1}{x}$

Passaggio 5.3.12

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x}$

Passaggio 5.4

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Passaggio 5.5

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Passaggio 5.6

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Passaggio 5.7

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + 0$

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Passaggio 5.8

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Passaggio 5.9

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	-	$1$

Passaggio 5.10

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x - \frac{1}{x}$

Passaggio 5.11

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = x$

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 0$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = x$

Passaggio 7