Algebra Esempi

$\frac{x}{3 x - 5} \leq \frac{2}{x - 1}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{2}{x - 1}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{x}{3 x - 5} - \frac{2}{x - 1} \leq 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{x}{3 x - 5} - \frac{2}{x - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per scrivere $\frac{x}{3 x - 5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x}{3 x - 5} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} \leq 0$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- \frac{2}{x - 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$\frac{x}{3 x - 5} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5} \leq 0$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(3 x - 5) (x - 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{x}{3 x - 5}$ per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x (x - 1)}{(3 x - 5) (x - 1)} - \frac{2}{x - 1} \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5} \leq 0$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{2}{x - 1}$ per $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$\frac{x (x - 1)}{(3 x - 5) (x - 1)} - \frac{2 (3 x - 5)}{(x - 1) (3 x - 5)} \leq 0$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di $(x - 1) (3 x - 5)$ .

$\frac{x (x - 1)}{(3 x - 5) (x - 1)} - \frac{2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x (x - 1) - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot - 1 - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Passaggio 2.5.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{x^{2} - 1 \cdot x - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Passaggio 2.5.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{x^{2} - x - 2 (3 x - 5)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Passaggio 2.5.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} - x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 5}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Passaggio 2.5.6

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{x^{2} - x - 6 x - 2 \cdot - 5}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Passaggio 2.5.7

Moltiplica $- 2$ per $- 5$ .

$\frac{x^{2} - x - 6 x + 10}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Passaggio 2.5.8

Sottrai $6 x$ da $- x$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 10}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Passaggio 2.5.9

Scomponi $x^{2} - 7 x + 10$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.5.9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $10$ e la cui somma è $- 7$ .

$- 5, - 2$

Passaggio 2.5.9.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{(x - 5) (x - 2)}{(3 x - 5) (x - 1)} \leq 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x - 5 = 0$

$x - 2 = 0$

$3 x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 4

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 5

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 6

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 5$

Passaggio 7

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 5$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 5$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Passaggio 8

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 9

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 5$

$x = 2$

$x = \frac{5}{3}$

$x = 1$

Passaggio 10

Consolida le soluzioni.

$x = 5, 2, \frac{5}{3}, 1$

Passaggio 11

Trova il dominio di $\frac{(x - 5) (x - 2)}{(3 x - 5) (x - 1)}$ .

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Passaggio 11.1

Imposta il denominatore in $\frac{(x - 5) (x - 2)}{(3 x - 5) (x - 1)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$(3 x - 5) (x - 1) = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 11.2.2

Imposta $3 x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.2.2.1

Imposta $3 x - 5$ uguale a $0$ .

$3 x - 5 = 0$

Passaggio 11.2.2.2

Risolvi $3 x - 5 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 5$

Passaggio 11.2.2.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 5$ e semplifica.

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Passaggio 11.2.2.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 5$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Passaggio 11.2.2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Passaggio 11.2.2.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Passaggio 11.2.3

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 11.2.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 11.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x - 5) (x - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{5}{3}, 1$

Passaggio 11.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 1) \cup (1, \frac{5}{3}) \cup (\frac{5}{3}, \infty)$

Passaggio 12

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 1$

$1 < x < \frac{5}{3}$

$\frac{5}{3} < x < 2$

$2 < x < 5$

$x > 5$

Passaggio 13

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 13.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 13.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 13.1.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{0}{3 (0) - 5} \leq \frac{2}{(0) - 1}$

Passaggio 13.1.3

Il lato sinistro di $0$ è maggiore del lato destro di $- 2$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 13.2

Testa un valore sull'intervallo $1 < x < \frac{5}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 13.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $1 < x < \frac{5}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1.33$

Passaggio 13.2.2

Sostituisci $x$ con $1.33$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1.33}{3 (1.33) - 5} \leq \frac{2}{(1.33) - 1}$

Passaggio 13.2.3

Il lato sinistro di $- 1.\overline{3168}$ è minore del lato destro di $6.\overline{06}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 13.3

Testa un valore sull'intervallo $\frac{5}{3} < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 13.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{5}{3} < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1.83$

Passaggio 13.3.2

Sostituisci $x$ con $1.83$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1.83}{3 (1.83) - 5} \leq \frac{2}{(1.83) - 1}$

Passaggio 13.3.3

Il lato sinistro di $3.73469387$ è maggiore del lato destro di $2.40963855$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 13.4

Testa un valore sull'intervallo $2 < x < 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 13.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $2 < x < 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 13.4.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{4}{3 (4) - 5} \leq \frac{2}{(4) - 1}$

Passaggio 13.4.3

Il lato sinistro di $0.\overline{571428}$ è minore del lato destro di $0.\overline{6}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 13.5

Testa un valore sull'intervallo $x > 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 13.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 13.5.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{8}{3 (8) - 5} \leq \frac{2}{(8) - 1}$

Passaggio 13.5.3

Il lato sinistro di $0.42105263$ è maggiore del lato destro di $0.\overline{285714}$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 13.6

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 1$ Falso

$1 < x < \frac{5}{3}$ Vero

$\frac{5}{3} < x < 2$ Falso

$2 < x < 5$ Vero

$x > 5$ Falso

$x < 1$ Falso

$1 < x < \frac{5}{3}$ Vero

$\frac{5}{3} < x < 2$ Falso

$2 < x < 5$ Vero

$x > 5$ Falso

Passaggio 14

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$1 < x < \frac{5}{3}$ o $2 \leq x \leq 5$

Passaggio 15

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$1 < x < \frac{5}{3} or 2 \leq x \leq 5$

Notazione degli intervalli:

$(1, \frac{5}{3}) \cup [2, 5]$

Passaggio 16