Algebra Esempi

$3 x = 1 + 2 \sqrt{x}$

Passaggio 1

Poiché il radicale si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$1 + 2 \sqrt{x} = 3 x$

Passaggio 2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sqrt{x} = 3 x - 1$

Passaggio 3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = {(3 x - 1)}^{2}$

Passaggio 4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 1)}^{2}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 1)}^{2}$

Passaggio 4.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 1)}^{2}$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 4.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 1)}^{2}$

Passaggio 4.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 1)}^{2}$

Passaggio 4.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{1} = {(3 x - 1)}^{2}$

Passaggio 4.2.1.4

Semplifica.

$4 x = {(3 x - 1)}^{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica ${(3 x - 1)}^{2}$ .

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Passaggio 4.3.1.1

Riscrivi ${(3 x - 1)}^{2}$ come $(3 x - 1) (3 x - 1)$ .

$4 x = (3 x - 1) (3 x - 1)$

Passaggio 4.3.1.2

Espandi $(3 x - 1) (3 x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 x = 3 x (3 x - 1) - 1 (3 x - 1)$

Passaggio 4.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 x = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x - 1)$

Passaggio 4.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 x = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 4.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 x = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 4.3.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.3.1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$4 x = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 4.3.1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 x = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 4.3.1.3.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$4 x = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 4.3.1.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$4 x = 9 x^{2} - 3 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1$

Passaggio 4.3.1.3.1.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$4 x = 9 x^{2} - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1$

Passaggio 4.3.1.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$4 x = 9 x^{2} - 3 x - 3 x + 1$

Passaggio 4.3.1.3.2

Sottrai $3 x$ da $- 3 x$ .

$4 x = 9 x^{2} - 6 x + 1$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$9 x^{2} - 6 x + 1 = 4 x$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $4 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 x^{2} - 6 x + 1 - 4 x = 0$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $4 x$ da $- 6 x$ .

$9 x^{2} - 10 x + 1 = 0$

Passaggio 5.3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 5.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 9 \cdot 1 = 9$ e la cui somma è $b = - 10$ .

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Passaggio 5.3.1.1

Scomponi $- 10$ da $- 10 x$ .

$9 x^{2} - 10 x + 1 = 0$

Passaggio 5.3.1.2

Riscrivi $- 10$ come $- 1$ più $- 9$ .

$9 x^{2} + (- 1 - 9) x + 1 = 0$

Passaggio 5.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$9 x^{2} - 1 x - 9 x + 1 = 0$

Passaggio 5.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 5.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(9 x^{2} - 1 x) - 9 x + 1 = 0$

Passaggio 5.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (9 x - 1) - (9 x - 1) = 0$

Passaggio 5.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $9 x - 1$ .

$(9 x - 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 5.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$9 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $9 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.5.1

Imposta $9 x - 1$ uguale a $0$ .

$9 x - 1 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $9 x - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 x = 1$

Passaggio 5.5.2.2

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x = 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.5.2.2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x = 1$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

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Passaggio 5.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 x}{9} = \frac{1}{9}$

Passaggio 5.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{9}$

Passaggio 5.6

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.6.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(9 x - 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{9}, 1$

Passaggio 6

Escludi le soluzioni che non rendono $3 x = 1 + 2 \sqrt{x}$ vera.

$x = 1$