Algebra Esempi

$\frac{2 + \sqrt{- 8}}{1 + i}$

Passaggio 1

Estrai l'unità immaginaria $i$ .

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Passaggio 1.1

Riscrivi $- 8$ come $- 1 (8)$ .

$\frac{2 + \sqrt{- 1 (8)}}{1 + i}$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (8)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$\frac{2 + \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{1 + i}$

Passaggio 1.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + i}$

Passaggio 2

Moltiplica il numeratore e il denominatore di $\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + 1 i}$ per il coniugato di $1 + 1 i$ per rendere il denominatore reale.

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i}$

Passaggio 3

Moltiplica.

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Passaggio 3.1

Combina.

$\frac{(2 + i \cdot \sqrt{8}) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{(2 + i \cdot \sqrt{4 (2)}) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{(2 + i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Passaggio 3.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{(2 + i \cdot (2 \sqrt{2})) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Passaggio 3.2.1.3

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$\frac{(2 + 2 i \sqrt{2}) (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Passaggio 3.2.2

Espandi $(2 + 2 i \sqrt{2}) (1 - i)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (1 - i) + 2 i \sqrt{2} (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Passaggio 3.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- i) + 2 i \sqrt{2} (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Passaggio 3.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- i) + 2 i \sqrt{2} \cdot 1 + 2 i \sqrt{2} (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 + 2 (- i) + 2 i \sqrt{2} \cdot 1 + 2 i \sqrt{2} (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Passaggio 3.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} \cdot 1 + 2 i \sqrt{2} (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Passaggio 3.2.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Passaggio 3.2.3.4

Moltiplica $2 i \sqrt{2} (- i)$ .

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Passaggio 3.2.3.4.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2} i}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Passaggio 3.2.3.4.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} - 2 (i^{1} i) \sqrt{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Passaggio 3.2.3.4.3

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} - 2 (i^{1} i^{1}) \sqrt{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Passaggio 3.2.3.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} - 2 i^{1 + 1} \sqrt{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Passaggio 3.2.3.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} - 2 i^{2} \sqrt{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Passaggio 3.2.3.5

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} - 2 \cdot - 1 \sqrt{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Passaggio 3.2.3.6

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{2 - 2 i + 2 i \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Passaggio 3.2.4

Riordina $2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}$ e $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)}$

Passaggio 3.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Espandi $(1 + 1 i) (1 - i)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)}$

Passaggio 3.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)}$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)}$

Passaggio 3.3.2.3

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)}$

Passaggio 3.3.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1 i + 1 i - i i}$

Passaggio 3.3.2.5

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)}$

Passaggio 3.3.2.6

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})}$

Passaggio 3.3.2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}}$

Passaggio 3.3.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}}$

Passaggio 3.3.2.9

Somma $- 1 i$ e $1 i$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 0 - i^{2}}$

Passaggio 3.3.2.10

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - i^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.3.1

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - - 1}$

Passaggio 3.3.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 1}$

Passaggio 3.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4

Elimina il fattore comune di $2 \sqrt{2} + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}$ e $2$ .

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Passaggio 4.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 2 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1 - 2 i + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.3

Scomponi $2$ da $- 2 i$ .

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1 + 2 (- i) + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.4

Scomponi $2$ da $2 (1) + 2 (- i)$ .

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 2 (1 - i) + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.5

Scomponi $2$ da $2 i \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 2 (1 - i) + 2 (i \sqrt{2})}{2}$

Passaggio 4.6

Scomponi $2$ da $2 (1 - i) + 2 (i \sqrt{2})$ .

$\frac{2 (\sqrt{2}) + 2 (1 - i + i \sqrt{2})}{2}$

Passaggio 4.7

Scomponi $2$ da $2 (\sqrt{2}) + 2 (1 - i + i \sqrt{2})$ .

$\frac{2 (\sqrt{2} + 1 - i + i \sqrt{2})}{2}$

Passaggio 4.8

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.8.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (\sqrt{2} + 1 - i + i \sqrt{2})}{2 (1)}$

Passaggio 4.8.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (\sqrt{2} + 1 - i + i \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.8.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{2} + 1 - i + i \sqrt{2}}{1}$

Passaggio 4.8.4

Dividi $\sqrt{2} + 1 - i + i \sqrt{2}$ per $1$ .

$\sqrt{2} + 1 - i + i \sqrt{2}$