Algebra Esempi

$\frac{x + y}{x - y} + \frac{1}{x + y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$

Passaggio 1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = y$ .

$\frac{x + y}{x - y} + \frac{1}{x + y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Passaggio 2

Per scrivere $\frac{x + y}{x - y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{x + y}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{1}{x + y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Passaggio 3

Per scrivere $\frac{1}{x + y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - y}{x - y}$ .

$\frac{x + y}{x - y} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{1}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Passaggio 4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x - y) (x + y)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{x + y}{x - y}$ per $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{(x + y) (x + y)}{(x - y) (x + y)} + \frac{1}{x + y} \cdot \frac{x - y}{x - y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{1}{x + y}$ per $\frac{x - y}{x - y}$ .

$\frac{(x + y) (x + y)}{(x - y) (x + y)} + \frac{x - y}{(x + y) (x - y)} - \frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Passaggio 4.3

Riordina i fattori di $(x - y) (x + y)$ .

$\frac{(x + y) (x + y)}{(x + y) (x - y)} + \frac{x - y}{(x + y) (x - y)} - \frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(x + y) (x + y) + x - y}{(x + y) (x - y)} - \frac{x^{2} + y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Passaggio 5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(x + y) (x + y) + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

Passaggio 6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1

Espandi $(x + y) (x + y)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 6.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (x + y) + y (x + y) + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

Passaggio 6.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x y + y (x + y) + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

Passaggio 6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x + x y + y x + y \cdot y + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

Passaggio 6.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} + x y + y x + y \cdot y + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{x^{2} + x y + y x + y^{2} + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

Passaggio 6.2.2

Somma $x y$ e $y x$ .

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Passaggio 6.2.2.1

Riordina $y$ e $x$ .

$\frac{x^{2} + x y + x y + y^{2} + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $x y$ e $x y$ .

$\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x - y - (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y)}$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} + x - y - x^{2} - y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Passaggio 7

Combina i termini opposti in $x^{2} + 2 x y + y^{2} + x - y - x^{2} - y^{2}$ .

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Passaggio 7.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{2 x y + y^{2} + x - y + 0 - y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Passaggio 7.2

Somma $2 x y + y^{2} + x - y$ e $0$ .

$\frac{2 x y + y^{2} + x - y - y^{2}}{(x + y) (x - y)}$

Passaggio 7.3

Sottrai $y^{2}$ da $y^{2}$ .

$\frac{2 x y + x - y + 0}{(x + y) (x - y)}$

Passaggio 7.4

Somma $2 x y + x - y$ e $0$ .

$\frac{2 x y + x - y}{(x + y) (x - y)}$