Algebra Esempi

$\ln (3 x) + \ln (2 x) = 3$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (3 x (2 x)) = 3$

Passaggio 1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\ln (3 \cdot (2 x \cdot x)) = 3$

Passaggio 1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sposta $x$ .

$\ln (3 \cdot (2 (x \cdot x))) = 3$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\ln (3 \cdot (2 x^{2})) = 3$

Passaggio 1.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\ln (6 x^{2}) = 3$

Passaggio 2

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (6 x^{2})} = e^{3}$

Passaggio 3

Riscrivi $\ln (6 x^{2}) = 3$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3} = 6 x^{2}$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $6 x^{2} = e^{3}$ .

$6 x^{2} = e^{3}$

Passaggio 4.2

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x^{2} = e^{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x^{2} = e^{3}$ .

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{e^{3}}{6}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{e^{3}}{6}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{e^{3}}{6}$

Passaggio 4.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{\frac{e^{3}}{6}}$

Passaggio 4.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{e^{3}}{6}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{e^{3}}{6}}$ come $\frac{\sqrt{e^{3}}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{3}}}{\sqrt{6}}$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Metti in evidenza $e^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{2} e}}{\sqrt{6}}$

Passaggio 4.4.2.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm \frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{6}}$

Passaggio 4.4.3

Moltiplica $\frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{6}}$ per $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Passaggio 4.4.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.1

Moltiplica $\frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{6}}$ per $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Passaggio 4.4.4.2

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Passaggio 4.4.4.3

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Passaggio 4.4.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Passaggio 4.4.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Passaggio 4.4.4.6

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.4.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.4.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.4.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Passaggio 4.4.4.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6}$

Passaggio 4.4.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Passaggio 4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Passaggio 4.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Passaggio 4.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{e \sqrt{6 e}}{6}, - \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $\ln (3 x) + \ln (2 x) = 3$ vera.

$x = \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

Forma decimale:

$x = 1.82964190 \dots$