Algebra Esempi

$\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 3} \leq 0$

Passaggio 1

Semplifica $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 3}$ .

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Passaggio 1.1

Per scrivere $\frac{1}{x + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{1}{x - 3} \leq 0$

Passaggio 1.2

Per scrivere $\frac{1}{x - 3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} + \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Passaggio 1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x + 1) (x - 3)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{x + 1}$ per $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x - 3)} + \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $\frac{1}{x - 3}$ per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x - 3)} + \frac{x + 1}{(x - 3) (x + 1)} \leq 0$

Passaggio 1.3.3

Riordina i fattori di $(x - 3) (x + 1)$ .

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x - 3)} + \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Passaggio 1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x - 3 + x + 1}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Passaggio 1.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.5.1

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{2 x - 3 + 1}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $- 3$ e $1$ .

$\frac{2 x - 2}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Passaggio 1.5.3

Scomponi $2$ da $2 x - 2$ .

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Passaggio 1.5.3.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 2}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Passaggio 1.5.3.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Passaggio 1.5.3.3

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 3)} \leq 0$

Passaggio 2

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 3

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 5

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 6

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 1$

$x = - 1$

$x = 3$

Passaggio 7

Consolida le soluzioni.

$x = 1, - 1, 3$

Passaggio 8

Trova il dominio di $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 3}$ .

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Passaggio 8.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x + 1}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x + 1 = 0$

Passaggio 8.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 8.3

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x - 3}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x - 3 = 0$

Passaggio 8.4

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 8.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 9

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

Passaggio 10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 10.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{(- 4) + 1} + \frac{1}{(- 4) - 3} \leq 0$

Passaggio 10.1.3

Il lato sinistro di $- 0.\overline{476190}$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 10.2

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 10.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{(0) + 1} + \frac{1}{(0) - 3} \leq 0$

Passaggio 10.2.3

Il lato sinistro di $0.\overline{6}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 10.3

Testa un valore sull'intervallo $1 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $1 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 10.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{(2) + 1} + \frac{1}{(2) - 3} \leq 0$

Passaggio 10.3.3

Il lato sinistro di $- 0.\overline{6}$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 10.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 10.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1}{(6) + 1} + \frac{1}{(6) - 3} \leq 0$

Passaggio 10.4.3

Il lato sinistro di $0.\overline{476190}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 10.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 1$ Vero

$- 1 < x < 1$ Falso

$1 < x < 3$ Vero

$x > 3$ Falso

$x < - 1$ Vero

$- 1 < x < 1$ Falso

$1 < x < 3$ Vero

$x > 3$ Falso

Passaggio 11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 1$ o $1 \leq x < 3$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x < - 1 or 1 \leq x < 3$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 1) \cup [1, 3)$

Passaggio 13