Algebra Esempi

$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{a - b}$

Passaggio 1

Somma $\frac{1}{b}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{1}{a} = \frac{1}{a - b} + \frac{1}{b}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$a, a - b, b$

Passaggio 2.2

Poiché $a, a - b, b$ contiene sia numeri che variabili, ci sono quattro passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per le parti numerica, variabile e variabile composta. Quindi, moltiplica tutto insieme.

I passaggi per trovare il minimo comune multiplo per $a, a - b, b$ sono:

1. Trova il minimo comune multiplo della parte numerica $1, 1, 1$ .

2. Trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $a^{1}, b^{1}$

3. Trova il minimo comune multiplo per la parte variabile composta $a - b$ .

4. Moltiplica tutti i minimi comuni multipli tra loro.

Passaggio 2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.6

Il fattore di $a^{1}$ è $a$ stesso.

$a^{1} = a$

$a$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il fattore di $b^{1}$ è $b$ stesso.

$b^{1} = b$

$b$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $a^{1}, b^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$a \cdot b$

Passaggio 2.9

Moltiplica $a$ per $b$ .

$a b$

Passaggio 2.10

Il fattore di $a - b$ è $a - b$ stesso.

$(a - b) = a - b$

$(a - b)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.11

Il minimo comune multiplo di $a - b$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$a - b$

Passaggio 2.12

Il minimo comune multiplo $LCM$ di alcuni numeri è il numero più piccolo di cui i numeri sono fattori.

$a b (a - b)$

Passaggio 3

Moltiplica per $a b (a - b)$ ciascun termine in $\frac{1}{a} = \frac{1}{a - b} + \frac{1}{b}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{a} = \frac{1}{a - b} + \frac{1}{b}$ per $a b (a - b)$ .

$\frac{1}{a} (a b (a - b)) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $a$ da $a b (a - b)$ .

$\frac{1}{a} (a (b (a - b))) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Passaggio 3.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{a} (a (b (a - b))) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Passaggio 3.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$b (a - b) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Passaggio 3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$b a + b (- b) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$b a - b \cdot b = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $b$ per $b$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Sposta $b$ .

$b a - (b \cdot b) = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Passaggio 3.2.4.2

Moltiplica $b$ per $b$ .

$b a - b^{2} = \frac{1}{a - b} (a b (a - b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $a - b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Scomponi $a - b$ da $a b (a - b)$ .

$b a - b^{2} = \frac{1}{a - b} ((a - b) (a b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Passaggio 3.3.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$b a - b^{2} = \frac{1}{a - b} ((a - b) (a b)) + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Passaggio 3.3.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$b a - b^{2} = a b + \frac{1}{b} (a b (a - b))$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Scomponi $b$ da $a b (a - b)$ .

$b a - b^{2} = a b + \frac{1}{b} (b (a (a - b)))$

Passaggio 3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$b a - b^{2} = a b + \frac{1}{b} (b (a (a - b)))$

Passaggio 3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$b a - b^{2} = a b + a (a - b)$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$b a - b^{2} = a b + a \cdot a + a (- b)$

Passaggio 3.3.1.4

Moltiplica $a$ per $a$ .

$b a - b^{2} = a b + a^{2} + a (- b)$

Passaggio 3.3.1.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$b a - b^{2} = a b + a^{2} - a b$

Passaggio 3.3.2

Combina i termini opposti in $a b + a^{2} - a b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $a b$ da $a b$ .

$b a - b^{2} = a^{2} + 0$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $a^{2}$ e $0$ .

$b a - b^{2} = a^{2}$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sottrai $a^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$b a - b^{2} - a^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.3

Sostituisci i valori $a = - 1$ , $b = b$ e $c = - b^{2}$ nella formula quadratica e risolvi per $a$ .

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- b^{2}))}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1

Scomponi $b^{2}$ da $b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1.1

Moltiplica per $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 1 b^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.4.1.1.2

Scomponi $b^{2}$ da $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.4.1.1.3

Scomponi $b^{2}$ da $b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 + 4 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.4.1.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.4.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.4.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.4.1.5

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.4.1.7

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$

Passaggio 4.4.3

Semplifica $\frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$ .

$a = \frac{b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.1

Scomponi $b^{2}$ da $b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.1.1

Moltiplica per $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 1 b^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.5.1.1.2

Scomponi $b^{2}$ da $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.5.1.1.3

Scomponi $b^{2}$ da $b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 + 4 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.5.1.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.5.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.5.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.5.1.5

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.5.1.7

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$

Passaggio 4.5.3

Semplifica $\frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$ .

$a = \frac{b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.5.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$a = \frac{b + b i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.5.5

Scomponi $b$ da $b + b i \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.5.1

Eleva $b$ alla potenza di $1$ .

$a = \frac{b + b i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.5.5.2

Scomponi $b$ da $b^{1}$ .

$a = \frac{b \cdot 1 + b i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.5.5.3

Scomponi $b$ da $b i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{b \cdot 1 + b (i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 4.5.5.4

Scomponi $b$ da $b \cdot 1 + b (i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 4.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.1

Scomponi $b^{2}$ da $b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.1.1

Moltiplica per $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 - 4 \cdot - 1 \cdot (- 1 b^{2})}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.6.1.1.2

Scomponi $b^{2}$ da $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1 b^{2}$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.6.1.1.3

Scomponi $b^{2}$ da $b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 4 \cdot - 1 \cdot - 1)$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4 \cdot - 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 + 4 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.6.1.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} (1 - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.6.1.3

Sottrai $4$ da $1$ .

$a = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} \cdot - 3}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.6.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 3}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.6.1.5

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$a = \frac{- b \pm b \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.6.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- b \pm b (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.6.1.7

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$a = \frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$

Passaggio 4.6.3

Semplifica $\frac{- b \pm b i \sqrt{3}}{- 2}$ .

$a = \frac{b \pm b i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.6.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$a = \frac{b - b i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.6.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.5.1

Scomponi $b$ da $b - b i \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.5.1.1

Eleva $b$ alla potenza di $1$ .

$a = \frac{b - b i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.6.5.1.2

Scomponi $b$ da $b^{1}$ .

$a = \frac{b \cdot 1 - b i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.6.5.1.3

Scomponi $b$ da $- b i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{b \cdot 1 + b (- 1 i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 4.6.5.1.4

Scomponi $b$ da $b \cdot 1 + b (- 1 i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{b (1 - 1 i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 4.6.5.2

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$a = \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Passaggio 4.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$a = \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

$a = \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$

$a = \frac{b (1 + i \sqrt{3})}{2}$

$a = \frac{b (1 - i \sqrt{3})}{2}$