Algebra Esempi

$x^{6} - x^{4} - x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x^{6} - x^{4}) - x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x^{4} (x^{2} - 1) - (x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x^{2} - 1$ .

$(x^{2} - 1) (x^{4} - 1) = 0$

Passaggio 1.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$(x^{2} - 1^{2}) (x^{4} - 1) = 0$

Passaggio 1.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$(x + 1) (x - 1) (x^{4} - 1) = 0$

Passaggio 1.5

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} - 1) = 0$

Passaggio 1.6

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) = 0$

Passaggio 1.7

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x^{2}$ e $b = 1$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1)) = 0$

Passaggio 1.8

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

Passaggio 1.8.1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.2.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

Passaggio 1.8.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 1.8.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 1.9

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 1.9.1

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$(x + 1) (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 1.9.2

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$(x + 1) (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 1.9.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(x + 1)}^{1 + 1} (x - 1) (x^{2} + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 1.9.4

Somma $1$ e $1$ .

${(x + 1)}^{2} (x - 1) (x^{2} + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 1.9.5

Eleva $x - 1$ alla potenza di $1$ .

${(x + 1)}^{2} ((x - 1) (x - 1)) (x^{2} + 1) = 0$

Passaggio 1.9.6

Eleva $x - 1$ alla potenza di $1$ .

${(x + 1)}^{2} ((x - 1) (x - 1)) (x^{2} + 1) = 0$

Passaggio 1.9.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{1 + 1} (x^{2} + 1) = 0$

Passaggio 1.9.8

Somma $1$ e $1$ .

${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} (x^{2} + 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta ${(x + 1)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta ${(x + 1)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi ${(x + 1)}^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Poni $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 4

Imposta ${(x - 1)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta ${(x - 1)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi ${(x - 1)}^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Poni $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 4.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5

Imposta $x^{2} + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x^{2} + 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $x^{2} + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 1$

Passaggio 5.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Passaggio 5.2.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i$

Passaggio 5.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 5.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i$

Passaggio 5.2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i$

Passaggio 5.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i, - i$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} (x^{2} + 1) = 0$ vera.

$x = - 1, 1, i, - i$

Passaggio 7