Algebra Esempi

$f (x) = - x^{2}$ $g (x) = - x^{2} + 6$

Passaggio 1

Rappresenta graficamente $f (x) = - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Completa il quadrato per $- x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 0$

Passaggio 1.1.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.1.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.1.1.1.3.2.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Passaggio 1.1.1.1.3.2.2

Riscrivi $- 1 \cdot 0$ come $- 0$ .

$d = - 0$

Passaggio 1.1.1.1.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$d = 0$

Passaggio 1.1.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.1.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.1.1.1.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e = 0 - \frac{0}{- 4}$

Passaggio 1.1.1.1.4.2.1.3

Dividi $0$ per $- 4$ .

$e = 0 - 0$

Passaggio 1.1.1.1.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e = 0 + 0$

Passaggio 1.1.1.1.4.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$e = 0$

Passaggio 1.1.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- x^{2}$ .

$- x^{2}$

Passaggio 1.1.1.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = - x^{2}$

Passaggio 1.1.2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 1$

$h = 0$

$k = 0$

Passaggio 1.1.3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola si apre in basso.

Si apre in basso

Passaggio 1.1.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Passaggio 1.1.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.1.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.1.5.3

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.3.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.1.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4}$

Passaggio 1.1.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.1.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, - \frac{1}{4})$

Passaggio 1.1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = 0$

Passaggio 1.1.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.1.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = \frac{1}{4}$

Passaggio 1.1.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(0, 0)$

Fuoco: $(0, - \frac{1}{4})$

Asse di simmetria: $x = 0$

Direttrice: $y = \frac{1}{4}$

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(0, 0)$

Fuoco: $(0, - \frac{1}{4})$

Asse di simmetria: $x = 0$

Direttrice: $y = \frac{1}{4}$

Passaggio 1.2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = - {(- 1)}^{2}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{2}$

Passaggio 1.2.2.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 2}$

Passaggio 1.2.2.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{3}$

Passaggio 1.2.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1) = - 1$

Passaggio 1.2.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 1.2.3

Il valore $y$ con $x = - 1$ è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 1.2.4

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = - {(- 2)}^{2}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = - 1 \cdot 4$

Passaggio 1.2.5.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (- 2) = - 4$

Passaggio 1.2.5.3

La risposta finale è $- 4$ .

$- 4$

Passaggio 1.2.6

Il valore $y$ con $x = - 2$ è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 1.2.7

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = - {(1)}^{2}$

Passaggio 1.2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.2.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = - 1$

Passaggio 1.2.8.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 1.2.9

Il valore $y$ con $x = 1$ è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 1.2.10

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = - {(2)}^{2}$

Passaggio 1.2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4$

Passaggio 1.2.11.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (2) = - 4$

Passaggio 1.2.11.3

La risposta finale è $- 4$ .

$- 4$

Passaggio 1.2.12

Il valore $y$ con $x = 2$ è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 1.2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 4 \\ - 1 & - 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & - 1 \\ 2 & - 4 \end{array}$

Passaggio 1.3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(0, 0)$

Fuoco: $(0, - \frac{1}{4})$

Asse di simmetria: $x = 0$

Direttrice: $y = \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 4 \\ - 1 & - 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & - 1 \\ 2 & - 4 \end{array}$

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(0, 0)$

Fuoco: $(0, - \frac{1}{4})$

Asse di simmetria: $x = 0$

Direttrice: $y = \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 4 \\ - 1 & - 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & - 1 \\ 2 & - 4 \end{array}$

Passaggio 2

Rappresenta graficamente $g (x) = - x^{2} + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Completa il quadrato per $- x^{2} + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 6$

Passaggio 2.1.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.1.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.1.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.1.1.1.3.2.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Passaggio 2.1.1.1.3.2.2

Riscrivi $- 1 \cdot 0$ come $- 0$ .

$d = - 0$

Passaggio 2.1.1.1.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$d = 0$

Passaggio 2.1.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 6 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 2.1.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1.4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e = 6 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 2.1.1.1.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e = 6 - \frac{0}{- 4}$

Passaggio 2.1.1.1.4.2.1.3

Dividi $0$ per $- 4$ .

$e = 6 - 0$

Passaggio 2.1.1.1.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e = 6 + 0$

Passaggio 2.1.1.1.4.2.2

Somma $6$ e $0$ .

$e = 6$

Passaggio 2.1.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- {(x + 0)}^{2} + 6$ .

$- {(x + 0)}^{2} + 6$

Passaggio 2.1.1.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = - {(x + 0)}^{2} + 6$

Passaggio 2.1.2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 1$

$h = 0$

$k = 6$

Passaggio 2.1.3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola si apre in basso.

Si apre in basso

Passaggio 2.1.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(0, 6)$

Passaggio 2.1.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 2.1.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 2.1.5.3

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.3.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 2.1.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4}$

Passaggio 2.1.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 2.1.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, \frac{23}{4})$

Passaggio 2.1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = 0$

Passaggio 2.1.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 2.1.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = \frac{25}{4}$

Passaggio 2.1.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(0, 6)$

Fuoco: $(0, \frac{23}{4})$

Asse di simmetria: $x = 0$

Direttrice: $y = \frac{25}{4}$

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(0, 6)$

Fuoco: $(0, \frac{23}{4})$

Asse di simmetria: $x = 0$

Direttrice: $y = \frac{25}{4}$

Passaggio 2.2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = - {(- 1)}^{2} + 6$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{2} + 6$

Passaggio 2.2.2.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 2} + 6$

Passaggio 2.2.2.1.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} + 6$

Passaggio 2.2.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1) = - 1 + 6$

Passaggio 2.2.2.2

Somma $- 1$ e $6$ .

$f (- 1) = 5$

Passaggio 2.2.2.3

La risposta finale è $5$ .

$5$

Passaggio 2.2.3

Il valore $y$ con $x = - 1$ è $5$ .

$y = 5$

Passaggio 2.2.4

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = - {(- 2)}^{2} + 6$

Passaggio 2.2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = - 1 \cdot 4 + 6$

Passaggio 2.2.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (- 2) = - 4 + 6$

Passaggio 2.2.5.2

Somma $- 4$ e $6$ .

$f (- 2) = 2$

Passaggio 2.2.5.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 2.2.6

Il valore $y$ con $x = - 2$ è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = - {(1)}^{2} + 6$

Passaggio 2.2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 6$

Passaggio 2.2.8.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = - 1 + 6$

Passaggio 2.2.8.2

Somma $- 1$ e $6$ .

$f (1) = 5$

Passaggio 2.2.8.3

La risposta finale è $5$ .

$5$

Passaggio 2.2.9

Il valore $y$ con $x = 1$ è $5$ .

$y = 5$

Passaggio 2.2.10

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = - {(2)}^{2} + 6$

Passaggio 2.2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.11.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 6$

Passaggio 2.2.11.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (2) = - 4 + 6$

Passaggio 2.2.11.2

Somma $- 4$ e $6$ .

$f (2) = 2$

Passaggio 2.2.11.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 2.2.12

Il valore $y$ con $x = 2$ è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 2.2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 2 \\ - 1 & 5 \\ 0 & 6 \\ 1 & 5 \\ 2 & 2 \end{array}$

Passaggio 2.3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(0, 6)$

Fuoco: $(0, \frac{23}{4})$

Asse di simmetria: $x = 0$

Direttrice: $y = \frac{25}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 2 \\ - 1 & 5 \\ 0 & 6 \\ 1 & 5 \\ 2 & 2 \end{array}$

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(0, 6)$

Fuoco: $(0, \frac{23}{4})$

Asse di simmetria: $x = 0$

Direttrice: $y = \frac{25}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 2 \\ - 1 & 5 \\ 0 & 6 \\ 1 & 5 \\ 2 & 2 \end{array}$

Passaggio 3

Traccia ogni grafico sul medesimo sistema di coordinate.

$f (x) = - x^{2}$

$g (x) = - x^{2} + 6$

Passaggio 4