Algebra Esempi

$f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ on the domain $x > 0$

Passaggio 1

Trova l'intervallo della funzione data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 1.2

Converti $(- \infty, \infty)$ in una diseguaglianza.

$- \infty < y < \infty$

Passaggio 2

Trova l'inverso.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scambia le variabili.

$x = {(3 y)}^{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 2.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi l'equazione come ${(3 y)}^{- \frac{2}{3}} = x$ .

${(3 y)}^{- \frac{2}{3}} = x$

Passaggio 2.2.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $- \frac{3}{2}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Semplifica ${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y)}^{- \frac{2}{3} (- \frac{3}{2})} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 2.2.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{3}$ nel numeratore.

${(3 y)}^{\frac{- 2}{3} (- \frac{3}{2})} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 2.2.3.1.1.1.2.2

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{2}$ nel numeratore.

${(3 y)}^{\frac{- 2}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 2.2.3.1.1.1.2.3

Scomponi $2$ da $- 2$ .

${(3 y)}^{\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 2.2.3.1.1.1.2.4

Elimina il fattore comune.

${(3 y)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 2.2.3.1.1.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 2.2.3.1.1.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1.1.3.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 2.2.3.1.1.1.3.2

Elimina il fattore comune.

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 2.2.3.1.1.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

${(3 y)}^{- - 1} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 2.2.3.1.1.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

${(3 y)}^{1} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 2.2.3.1.1.2

Semplifica.

$3 y = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 y = \pm \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ e semplifica.

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Passaggio 2.2.4.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Passaggio 2.2.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Passaggio 2.2.4.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Passaggio 2.2.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 2.2.4.2.3.2

Combina.

$y = \frac{1 \cdot 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}$

Passaggio 2.2.4.2.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.3.3.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}$

Passaggio 2.2.4.2.3.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.3

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.4

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.4.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Passaggio 2.2.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y}{3} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Passaggio 2.2.4.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

Passaggio 2.2.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.4.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 2.2.4.4.3.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

Trova l'inverso usando il dominio e l'intervallo della funzione originale.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \infty < x < \infty$

Passaggio 4