Algebra Esempi

$\sqrt{2} \sin (\frac{3 π}{8}) \cos (\frac{3 π}{8})$

Passaggio 1

Il valore esatto di $\sin (\frac{3 π}{8})$ è $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi $\frac{3 π}{8}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$\sqrt{2} \sin (\frac{\frac{3 π}{4}}{2}) \cos (\frac{3 π}{8})$

Passaggio 1.2

Applica l'identità a mezzo angolo del seno.

$\sqrt{2} (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}) \cos (\frac{3 π}{8})$

Passaggio 1.3

Cambia $\pm$ in $+$ , poiché il seno è positivo nel primo quadrante.

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{2}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Passaggio 1.4

Semplifica $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{2}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Passaggio 1.4.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Passaggio 1.4.3.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $1$ .

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Passaggio 1.4.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Passaggio 1.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Passaggio 1.4.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Passaggio 1.4.7

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.7.1

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Passaggio 1.4.7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Passaggio 1.4.8

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\sqrt{2} \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Passaggio 1.4.9

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.9.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\sqrt{2} \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (\frac{3 π}{8})$

Passaggio 1.4.9.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\sqrt{2} \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cos (\frac{3 π}{8})$

Passaggio 2

Moltiplica $\sqrt{2} \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Passaggio 2.1

$\sqrt{2}$ e $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cos (\frac{3 π}{8})$

Passaggio 2.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \cos (\frac{3 π}{8})$

Passaggio 3

Il valore esatto di $\cos (\frac{3 π}{8})$ è $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi $\frac{3 π}{8}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \cos (\frac{\frac{3 π}{4}}{2})$

Passaggio 3.2

Applica l'identità a mezzo angolo del coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}})$

Passaggio 3.3

Cambia $\pm$ in $+$ poiché il coseno è positivo nel primo quadrante.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}$ .

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Passaggio 3.4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Passaggio 3.4.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Passaggio 3.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Passaggio 3.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Passaggio 3.4.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Passaggio 3.4.6

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 3.4.6.1

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.4.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

Passaggio 3.4.7

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 3.4.8

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.4.8.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 3.4.8.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Passaggio 4

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2})} \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{2 (2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{(2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{(4 + 2 \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.5

Espandi $(4 + 2 \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{4 (2 - \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2 + 4 (- \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2 + 4 (- \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot 2 + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.6.1.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{8 + 4 (- \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \cdot 2 + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \cdot 2 + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.1.4

Moltiplica $2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Passaggio 4.6.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.1.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.1.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.1.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.1.5

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 4.6.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.1.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.6.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 \cdot 2^{1}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.1.5.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.1.6

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $4$ da $8$ .

$\frac{\sqrt{4 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.3

Somma $- 4 \sqrt{2}$ e $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.4

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.7

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\sqrt{4}}{4}$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{4}$

Passaggio 5.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{2}{4}$

Passaggio 6

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Passaggio 6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimale:

$0.5$