Algebra Esempi

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} < x$

Passaggio 1

Sottrai $x$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} - x < 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} - x$ .

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Passaggio 2.1

Per scrivere $- x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} - x \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} < 0$

Passaggio 2.2

$- x$ e $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3}{x^{2} + 1} + \frac{- x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} < 0$

Passaggio 2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} < 0$

Passaggio 2.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x \cdot x^{2} - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.4.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - (x^{2} x) - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Passaggio 2.4.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 2.4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - (x^{2} x^{1}) - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Passaggio 2.4.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x^{2 + 1} - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Passaggio 2.4.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x^{3} - x \cdot 1}{x^{2} + 1} < 0$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 3 - x^{3} - x}{x^{2} + 1} < 0$

Passaggio 2.4.4

Sottrai $x$ da $4 x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 3 - x^{3}}{x^{2} + 1} < 0$

Passaggio 2.4.5

Riordina i termini.

$\frac{- x^{3} + x^{2} + 3 x - 3}{x^{2} + 1} < 0$

Passaggio 2.4.6

Riscrivi $- x^{3} + x^{2} + 3 x - 3$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 2.4.6.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.4.6.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(- x^{3} + x^{2}) + 3 x - 3}{x^{2} + 1} < 0$

Passaggio 2.4.6.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x^{2} (- x + 1) - 3 (- x + 1)}{x^{2} + 1} < 0$

Passaggio 2.4.6.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 1$ .

$\frac{(- x + 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Passaggio 2.5

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{(- (x) + 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Passaggio 2.6

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 1)) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Passaggio 2.7

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x - 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Passaggio 2.8

Riscrivi $- (x - 1)$ come $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x - 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Passaggio 2.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(x - 1) (x^{2} - 3)}{x^{2} + 1} < 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 4

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 3$

Passaggio 6

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{3}$

Passaggio 7

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 7.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{3}$

Passaggio 7.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{3}$

Passaggio 7.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 8

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 1$

Passaggio 9

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Passaggio 10

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i$

Passaggio 11

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 11.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i$

Passaggio 11.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i$

Passaggio 11.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i, - i$

Passaggio 12

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 1$

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = i, - i$

Passaggio 13

Consolida le soluzioni.

$x = 1, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 14

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - \sqrt{3}$

$- \sqrt{3} < x < 1$

$1 < x < \sqrt{3}$

$x > \sqrt{3}$

Passaggio 15

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 15.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - \sqrt{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 15.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - \sqrt{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 15.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 4)}^{2} + 4 (- 4) - 3}{{(- 4)}^{2} + 1} < - 4$

Passaggio 15.1.3

Il lato sinistro di $- 0.17647058$ non è minore del lato destro di $- 4$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 15.2

Testa un valore sull'intervallo $- \sqrt{3} < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 15.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \sqrt{3} < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 15.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(0)}^{2} + 4 (0) - 3}{{(0)}^{2} + 1} < 0$

Passaggio 15.2.3

Il lato sinistro di $- 3$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 15.3

Testa un valore sull'intervallo $1 < x < \sqrt{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 15.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $1 < x < \sqrt{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1.37$

Passaggio 15.3.2

Sostituisci $x$ con $1.37$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(1.37)}^{2} + 4 (1.37) - 3}{{(1.37)}^{2} + 1} < 1.37$

Passaggio 15.3.3

Il lato sinistro di $1.51444262$ non è minore del lato destro di $1.37$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 15.4

Testa un valore sull'intervallo $x > \sqrt{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 15.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \sqrt{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 15.4.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(4)}^{2} + 4 (4) - 3}{{(4)}^{2} + 1} < 4$

Passaggio 15.4.3

Il lato sinistro di $1.70588235$ è minore del lato destro di $4$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 15.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - \sqrt{3}$ Falso

$- \sqrt{3} < x < 1$ Vero

$1 < x < \sqrt{3}$ Falso

$x > \sqrt{3}$ Vero

$x < - \sqrt{3}$ Falso

$- \sqrt{3} < x < 1$ Vero

$1 < x < \sqrt{3}$ Falso

$x > \sqrt{3}$ Vero

Passaggio 16

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- \sqrt{3} < x < 1$ o $x > \sqrt{3}$

Passaggio 17

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$- \sqrt{3} < x < 1 or x > \sqrt{3}$

Notazione degli intervalli:

$(- \sqrt{3}, 1) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Passaggio 18