Algebra Esempi

$A (t) = 300 t e^{- 2.5 t}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $300 x e^{- 2.5 x}$ è indefinita.

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 2

Si hanno asintoti verticali nelle aree di discontinuità infinita.

Nessun asintoto verticale

Passaggio 3

Calcola $lim_{x \to \infty} 300 x e^{- 2.5 x}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

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Passaggio 3.1

Sposta il termine $300$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$300 lim_{x \to \infty} x e^{- 2.5 x}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $x e^{- 2.5 x}$ come $\frac{x}{e^{2.5 x}}$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2.5 x}}$

Passaggio 3.3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$300 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{2.5 x}}$

Passaggio 3.3.1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$300 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{2.5 x}}$

Passaggio 3.3.1.3

Poiché l'esponente $2.5 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{2.5 x}$ tende a $\infty$ .

$300 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.3.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$300 \frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 3.3.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2.5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{2.5 x}]}$

Passaggio 3.3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$300 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{2.5 x}]}$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{2.5 x}]}$

Passaggio 3.3.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2.5 x$ .

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Passaggio 3.3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2.5 x$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2.5 x]}$

Passaggio 3.3.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [2.5 x]}$

Passaggio 3.3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2.5 x$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x} \frac{d}{d x} [2.5 x]}$

Passaggio 3.3.3.4

Poiché $2.5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2.5 x$ rispetto a $x$ è $2.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x} \cdot 2.5 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x} \cdot 2.5 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.3.6

Moltiplica $2.5$ per $1$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x} \cdot 2.5}$

Passaggio 3.3.3.7

Sposta $2.5$ alla sinistra di $e^{2.5 x}$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2.5 e^{2.5 x}}$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi $1$ come $1 (1)$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1 (1)}{2.5 e^{2.5 x}}$

Passaggio 3.3.5

Scomponi $2.5$ da $2.5 e^{2.5 x}$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1 (1)}{2.5 (e^{2.5 x})}$

Passaggio 3.3.6

Frazioni separate.

$300 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2.5} \cdot \frac{1}{e^{2.5 x}}$

Passaggio 3.3.7

Dividi $1$ per $2.5$ .

$300 lim_{x \to \infty} 0.4 \frac{1}{e^{2.5 x}}$

Passaggio 3.3.8

$0.4$ e $\frac{1}{e^{2.5 x}}$ .

$300 lim_{x \to \infty} \frac{0.4}{e^{2.5 x}}$

Passaggio 3.4

Sposta il termine $0.4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$300 \cdot 0.4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{2.5 x}}$

Passaggio 3.5

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{e^{2.5 x}}$ tende a $0$ .

$300 \cdot 0.4 \cdot 0$

Passaggio 3.6

Moltiplica per zero.

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Passaggio 3.6.1

Moltiplica $0.4$ per $0$ .

$300 \cdot 0$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $300$ per $0$ .

$0$

Passaggio 4

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = 0$

Passaggio 5

Non c'è nessun asintoto obliquo perché il grado del numeratore è minore di o uguale al grado del denominatore.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Nessun asintoto verticale

Asintoti orizzontali: $y = 0$

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 7