Algebra Esempi

$g (n) = - (3 n - 1) (2 n + 1)$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Completa il quadrato per $- (3 x - 1) (2 x + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$(- (3 x) - - 1) (2 x + 1)$

Passaggio 1.1.1.1.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$(- 3 x - - 1) (2 x + 1)$

Passaggio 1.1.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$(- 3 x + 1) (2 x + 1)$

Passaggio 1.1.1.1.4

Espandi $(- 3 x + 1) (2 x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)$

Passaggio 1.1.1.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 x (2 x) - 3 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)$

Passaggio 1.1.1.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 x (2 x) - 3 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.1.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.5.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 3 \cdot 2 x \cdot x - 3 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.1.5.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.5.1.2.1

Sposta $x$ .

$- 3 \cdot 2 (x \cdot x) - 3 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.1.5.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$- 3 \cdot 2 x^{2} - 3 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.1.5.1.3

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$- 6 x^{2} - 3 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.1.5.1.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 6 x^{2} - 3 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.1.5.1.5

Moltiplica $2 x$ per $1$ .

$- 6 x^{2} - 3 x + 2 x + 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.1.5.1.6

Moltiplica $1$ per $1$ .

$- 6 x^{2} - 3 x + 2 x + 1$

Passaggio 1.1.1.1.5.2

Somma $- 3 x$ e $2 x$ .

$- 6 x^{2} - x + 1$

Passaggio 1.1.1.2

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 6$

$b = - 1$

$c = 1$

Passaggio 1.1.1.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.1.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot - 6}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$d = \frac{- 1}{- 12}$

Passaggio 1.1.1.4.2.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$d = \frac{1}{12}$

Passaggio 1.1.1.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot - 6}$

Passaggio 1.1.1.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$e = 1 - \frac{1}{4 \cdot - 6}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 6$ .

$e = 1 - \frac{1}{- 24}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = 1 - - \frac{1}{24}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.4

Moltiplica $- - \frac{1}{24}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e = 1 + 1 (\frac{1}{24})$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.4.2

Moltiplica $\frac{1}{24}$ per $1$ .

$e = 1 + \frac{1}{24}$

Passaggio 1.1.1.5.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$e = \frac{24}{24} + \frac{1}{24}$

Passaggio 1.1.1.5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e = \frac{24 + 1}{24}$

Passaggio 1.1.1.5.2.4

Somma $24$ e $1$ .

$e = \frac{25}{24}$

Passaggio 1.1.1.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $- 6 {(x + \frac{1}{12})}^{2} + \frac{25}{24}$ .

$- 6 {(x + \frac{1}{12})}^{2} + \frac{25}{24}$

Passaggio 1.1.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = - 6 {(x + \frac{1}{12})}^{2} + \frac{25}{24}$

Passaggio 1.2

Usa la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 6$

$h = - \frac{1}{12}$

$k = \frac{25}{24}$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola si apre in basso.

Si apre in basso

Passaggio 1.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- \frac{1}{12}, \frac{25}{24})$

Passaggio 1.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola usando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot - 6}$

Passaggio 1.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Moltiplica $4$ per $- 6$ .

$\frac{1}{- 24}$

Passaggio 1.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{24}$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

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Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- \frac{1}{12}, 1)$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la retta che passa per il vertice e il fuoco.

$x = - \frac{1}{12}$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

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Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = \frac{13}{12}$

Passaggio 1.9

Usa le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(- \frac{1}{12}, \frac{25}{24})$

Fuoco: $(- \frac{1}{12}, 1)$

Asse di simmetria: $x = - \frac{1}{12}$

Direttrice: $y = \frac{13}{12}$

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(- \frac{1}{12}, \frac{25}{24})$

Fuoco: $(- \frac{1}{12}, 1)$

Asse di simmetria: $x = - \frac{1}{12}$

Direttrice: $y = \frac{13}{12}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

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Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = - (3 (- 1) - 1) (2 (- 1) + 1)$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.2.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (- 1) = - (- 3 - 1) (2 (- 1) + 1)$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $1$ da $- 3$ .

$f (- 1) = 4 (2 (- 1) + 1)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (- 1) = 4 (- 2 + 1)$

Passaggio 2.2.4

Somma $- 2$ e $1$ .

$f (- 1) = 4 \cdot - 1$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f (- 1) = - 4$

Passaggio 2.2.6

La risposta finale è $- 4$ .

$- 4$

Passaggio 2.3

Il valore $y$ con $x = - 1$ è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = - (3 (- 2) - 1) (2 (- 2) + 1)$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f (- 2) = - (- 6 - 1) (2 (- 2) + 1)$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $1$ da $- 6$ .

$f (- 2) = 7 (2 (- 2) + 1)$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f (- 2) = 7 (- 4 + 1)$

Passaggio 2.5.4

Somma $- 4$ e $1$ .

$f (- 2) = 7 \cdot - 3$

Passaggio 2.5.5

Moltiplica $7$ per $- 3$ .

$f (- 2) = - 21$

Passaggio 2.5.6

La risposta finale è $- 21$ .

$- 21$

Passaggio 2.6

Il valore $y$ con $x = - 2$ è $- 21$ .

$y = - 21$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = - (3 (1) - 1) (2 (1) + 1)$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (1) = - (3 - 1) (2 (1) + 1)$

Passaggio 2.8.2

Sottrai $1$ da $3$ .

$f (1) = - 1 \cdot (2 (2 (1) + 1))$

Passaggio 2.8.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (1) = - 2 (2 (1) + 1)$

Passaggio 2.8.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (1) = - 2 (2 + 1)$

Passaggio 2.8.5

Somma $2$ e $1$ .

$f (1) = - 2 \cdot 3$

Passaggio 2.8.6

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$f (1) = - 6$

Passaggio 2.8.7

La risposta finale è $- 6$ .

$- 6$

Passaggio 2.9

Il valore $y$ con $x = 1$ è $- 6$ .

$y = - 6$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = - (3 (2) - 1) (2 (2) + 1)$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (2) = - (6 - 1) (2 (2) + 1)$

Passaggio 2.11.2

Sottrai $1$ da $6$ .

$f (2) = - 1 \cdot (5 (2 (2) + 1))$

Passaggio 2.11.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f (2) = - 5 (2 (2) + 1)$

Passaggio 2.11.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (2) = - 5 (4 + 1)$

Passaggio 2.11.5

Somma $4$ e $1$ .

$f (2) = - 5 \cdot 5$

Passaggio 2.11.6

Moltiplica $- 5$ per $5$ .

$f (2) = - 25$

Passaggio 2.11.7

La risposta finale è $- 25$ .

$- 25$

Passaggio 2.12

Il valore $y$ con $x = 2$ è $- 25$ .

$y = - 25$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 21 \\ - 1 & - 4 \\ - \frac{1}{12} & \frac{25}{24} \\ 1 & - 6 \\ 2 & - 25 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(- \frac{1}{12}, \frac{25}{24})$

Fuoco: $(- \frac{1}{12}, 1)$

Asse di simmetria: $x = - \frac{1}{12}$

Direttrice: $y = \frac{13}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 21 \\ - 1 & - 4 \\ - \frac{1}{12} & \frac{25}{24} \\ 1 & - 6 \\ 2 & - 25 \end{array}$

Passaggio 4