Algebra Esempi

$y = - 2$ ${(x - 1)}^{2} - 5$

Passaggio 1

Rappresenta graficamente $y = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa l'equazione in forma esplicita di una retta per determinare il coefficiente angolare e l'intercetta di y.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

L'equazione in forma esplicita di una retta è $y = m x + b$ , dove $m$ è il coefficiente angolare e $b$ è l'intercetta di y.

$y = m x + b$

Passaggio 1.1.2

Trova i valori di $m$ e $b$ usando la forma $y = m x + b$ .

$m = 0$

$b = - 2$

Passaggio 1.1.3

Il coefficiente angolare della retta è il valore di $m$ e l'intercetta di y è il valore di $b$ .

Coefficiente angolare: $0$

Intercetta di y: $(0, - 2)$

Coefficiente angolare: $0$

Intercetta di y: $(0, - 2)$

Passaggio 1.2

Trova due punti sulla retta.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 2 \end{array}$

Passaggio 1.3

Rappresenta graficamente la retta usando il coefficiente angolare, l'intercetta di y e due punti.

Coefficiente angolare: $0$

Intercetta di y: $(0, - 2)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 2 \end{array}$

Coefficiente angolare: $0$

Intercetta di y: $(0, - 2)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 2 \end{array}$

Passaggio 2

Rappresenta graficamente ${(x - 1)}^{2} - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Usa la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 1$

$h = 1$

$k = - 5$

Passaggio 2.1.2

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 2.1.3

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(1, - 5)$

Passaggio 2.1.4

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 2.1.4.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola usando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 2.1.4.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.4.3

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4}$

Passaggio 2.1.5

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 2.1.5.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(1, - \frac{19}{4})$

Passaggio 2.1.6

Individua l'asse di simmetria trovando la retta che passa per il vertice e il fuoco.

$x = 1$

Passaggio 2.1.7

Trova la direttrice.

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Passaggio 2.1.7.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 2.1.7.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = - \frac{21}{4}$

Passaggio 2.1.8

Usa le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(1, - 5)$

Fuoco: $(1, - \frac{19}{4})$

Asse di simmetria: $x = 1$

Direttrice: $y = - \frac{21}{4}$

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(1, - 5)$

Fuoco: $(1, - \frac{19}{4})$

Asse di simmetria: $x = 1$

Direttrice: $y = - \frac{21}{4}$

Passaggio 2.2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 4$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 - 4$

Passaggio 2.2.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 4$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 - 4$

Passaggio 2.2.2.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$f (0) = - 4$

Passaggio 2.2.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$- 4$

Passaggio 2.2.3

Il valore $y$ con $x = 0$ è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 2.2.4

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 - 4$

Passaggio 2.2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = 1 - 2 \cdot - 1 - 4$

Passaggio 2.2.5.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f (- 1) = 1 + 2 - 4$

Passaggio 2.2.5.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

Somma $1$ e $2$ .

$f (- 1) = 3 - 4$

Passaggio 2.2.5.2.2

Sottrai $4$ da $3$ .

$f (- 1) = - 1$

Passaggio 2.2.5.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 2.2.6

Il valore $y$ con $x = - 1$ è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 4$

Passaggio 2.2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = 4 - 2 \cdot 2 - 4$

Passaggio 2.2.8.1.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f (2) = 4 - 4 - 4$

Passaggio 2.2.8.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.2.1

Sottrai $4$ da $4$ .

$f (2) = 0 - 4$

Passaggio 2.2.8.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$f (2) = - 4$

Passaggio 2.2.8.3

La risposta finale è $- 4$ .

$- 4$

Passaggio 2.2.9

Il valore $y$ con $x = 2$ è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 2.2.10

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 - 4$

Passaggio 2.2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.11.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = 9 - 2 \cdot 3 - 4$

Passaggio 2.2.11.1.2

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$f (3) = 9 - 6 - 4$

Passaggio 2.2.11.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.11.2.1

Sottrai $6$ da $9$ .

$f (3) = 3 - 4$

Passaggio 2.2.11.2.2

Sottrai $4$ da $3$ .

$f (3) = - 1$

Passaggio 2.2.11.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 2.2.12

Il valore $y$ con $x = 3$ è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 2.2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 1 \\ 0 & - 4 \\ 1 & - 5 \\ 2 & - 4 \\ 3 & - 1 \end{array}$

Passaggio 2.3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(1, - 5)$

Fuoco: $(1, - \frac{19}{4})$

Asse di simmetria: $x = 1$

Direttrice: $y = - \frac{21}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 1 \\ 0 & - 4 \\ 1 & - 5 \\ 2 & - 4 \\ 3 & - 1 \end{array}$

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(1, - 5)$

Fuoco: $(1, - \frac{19}{4})$

Asse di simmetria: $x = 1$

Direttrice: $y = - \frac{21}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 1 \\ 0 & - 4 \\ 1 & - 5 \\ 2 & - 4 \\ 3 & - 1 \end{array}$

Passaggio 3

Traccia ogni grafico sul medesimo sistema di coordinate.

$y = - 2$

${(x - 1)}^{2} - 5$

Passaggio 4