Algebra Esempi

$\sqrt{648} = \sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}} = \sqrt{648}$ .

$\sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}} = \sqrt{648}$

Passaggio 2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (\sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}}) = \ln (\sqrt{648})$

Passaggio 3

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2^{a} \cdot 3^{b}}$ come ${(2^{a} \cdot 3^{b})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln ({(2^{a} \cdot 3^{b})}^{\frac{1}{2}}) = \ln (\sqrt{648})$

Passaggio 3.2

Espandi $\ln ({(2^{a} \cdot 3^{b})}^{\frac{1}{2}})$ spostando $\frac{1}{2}$ fuori dal logaritmo.

$\frac{1}{2} \ln (2^{a} \cdot 3^{b}) = \ln (\sqrt{648})$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\ln (2^{a} \cdot 3^{b})$ come $\ln (2^{a}) + \ln (3^{b})$ .

$\frac{1}{2} (\ln (2^{a}) + \ln (3^{b})) = \ln (\sqrt{648})$

Passaggio 3.4

Espandi $\ln (2^{a})$ spostando $a$ fuori dal logaritmo.

$\frac{1}{2} (a \ln (2) + \ln (3^{b})) = \ln (\sqrt{648})$

Passaggio 3.5

Espandi $\ln (3^{b})$ spostando $b$ fuori dal logaritmo.

$\frac{1}{2} (a \ln (2) + b \ln (3)) = \ln (\sqrt{648})$

Passaggio 4

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.1

Semplifica $\frac{1}{2} (a \ln (2) + b \ln (3))$ .

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} (a \ln (2)) + \frac{1}{2} (b \ln (3)) = \ln (\sqrt{648})$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $\frac{1}{2} (a \ln (2))$ .

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Passaggio 4.1.2.1

$a$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{a}{2} \ln (2) + \frac{1}{2} (b \ln (3)) = \ln (\sqrt{648})$

Passaggio 4.1.2.2

$\frac{a}{2}$ e $\ln (2)$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{1}{2} (b \ln (3)) = \ln (\sqrt{648})$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $\frac{1}{2} (b \ln (3))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

$b$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b}{2} \ln (3) = \ln (\sqrt{648})$

Passaggio 4.1.3.2

$\frac{b}{2}$ e $\ln (3)$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (\sqrt{648})$

Passaggio 5

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.1

Semplifica $\ln (\sqrt{648})$ .

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Passaggio 5.1.1

Riscrivi $648$ come $18^{2} \cdot 2$ .

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Passaggio 5.1.1.1

Scomponi $324$ da $648$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (\sqrt{324 (2)})$

Passaggio 5.1.1.2

Riscrivi $324$ come $18^{2}$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (\sqrt{18^{2} \cdot 2})$

Passaggio 5.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (18 \sqrt{2})$

Passaggio 6

Moltiplica per $2$ ciascun termine in $\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (18 \sqrt{2})$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 6.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{a \ln (2)}{2} + \frac{b \ln (3)}{2} = \ln (18 \sqrt{2})$ per $2$ .

$\frac{a \ln (2)}{2} \cdot 2 + \frac{b \ln (3)}{2} \cdot 2 = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{a \ln (2)}{2} \cdot 2 + \frac{b \ln (3)}{2} \cdot 2 = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Passaggio 6.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$a \ln (2) + \frac{b \ln (3)}{2} \cdot 2 = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Passaggio 6.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$a \ln (2) + \frac{b \ln (3)}{2} \cdot 2 = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Passaggio 6.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$a \ln (2) + b \ln (3) = \ln (18 \sqrt{2}) \cdot 2$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $\ln (18 \sqrt{2})$ .

$a \ln (2) + b \ln (3) = 2 \ln (18 \sqrt{2})$

Passaggio 7

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$a \ln (2) + b \ln (3) - 2 \ln (18 \sqrt{2}) = 0$

Passaggio 8

Sposta tutti i termini non contenenti $a$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 8.1

Sottrai $b \ln (3)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$a \ln (2) - 2 \ln (18 \sqrt{2}) = - b \ln (3)$

Passaggio 8.2

Somma $2 \ln (18 \sqrt{2})$ a entrambi i lati dell'equazione.

$a \ln (2) = - b \ln (3) + 2 \ln (18 \sqrt{2})$

Passaggio 9

Dividi per $\ln (2)$ ciascun termine in $a \ln (2) = - b \ln (3) + 2 \ln (18 \sqrt{2})$ e semplifica.

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Passaggio 9.1

Dividi per $\ln (2)$ ciascun termine in $a \ln (2) = - b \ln (3) + 2 \ln (18 \sqrt{2})$ .

$\frac{a \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- b \ln (3)}{\ln (2)} + \frac{2 \ln (18 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Passaggio 9.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{a \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- b \ln (3)}{\ln (2)} + \frac{2 \ln (18 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Passaggio 9.2.1.2

Dividi $a$ per $1$ .

$a = \frac{- b \ln (3)}{\ln (2)} + \frac{2 \ln (18 \sqrt{2})}{\ln (2)}$

Passaggio 9.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 9.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$a = - \frac{b \ln (3)}{\ln (2)} + \frac{2 \ln (18 \sqrt{2})}{\ln (2)}$