Algebra Esempi

$\frac{3}{x^{2} - 4} = \frac{2}{x + 2} + \frac{x}{x - 2}$

Passaggio 1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{3}{x^{2} - 2^{2}} = \frac{2}{x + 2} + \frac{x}{x - 2}$

Passaggio 1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{3}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{2}{x + 2} + \frac{x}{x - 2}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$(x + 2) (x - 2), x + 2, x - 2$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $x + 2$ è $x + 2$ stesso.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $x - 2$ è $x - 2$ stesso.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il fattore di $x + 2$ è $x + 2$ stesso.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.8

Il fattore di $x - 2$ è $x - 2$ stesso.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.9

Il minimo comune multiplo di $x + 2, x - 2, x + 2, x - 2$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(x + 2) (x - 2)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(x + 2) (x - 2)$ ciascun termine in $\frac{3}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{2}{x + 2} + \frac{x}{x - 2}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{3}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{2}{x + 2} + \frac{x}{x - 2}$ per $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{3}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2)) = \frac{2}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) + \frac{x}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $(x + 2) (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{(x + 2) (x - 2)} ((x + 2) (x - 2)) = \frac{2}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) + \frac{x}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3 = \frac{2}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) + \frac{x}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 = \frac{2}{x + 2} ((x + 2) (x - 2)) + \frac{x}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Passaggio 3.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3 = 2 (x - 2) + \frac{x}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Passaggio 3.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 = 2 x + 2 \cdot - 2 + \frac{x}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$3 = 2 x - 4 + \frac{x}{x - 2} ((x + 2) (x - 2))$

Passaggio 3.3.1.4

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.4.1

Scomponi $x - 2$ da $(x + 2) (x - 2)$ .

$3 = 2 x - 4 + \frac{x}{x - 2} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.3.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$3 = 2 x - 4 + \frac{x}{x - 2} ((x - 2) (x + 2))$

Passaggio 3.3.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$3 = 2 x - 4 + x (x + 2)$

Passaggio 3.3.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$3 = 2 x - 4 + x \cdot x + x \cdot 2$

Passaggio 3.3.1.6

Moltiplica $x$ per $x$ .

$3 = 2 x - 4 + x^{2} + x \cdot 2$

Passaggio 3.3.1.7

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$3 = 2 x - 4 + x^{2} + 2 x$

Passaggio 3.3.2

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$3 = 4 x - 4 + x^{2}$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $4 x - 4 + x^{2} = 3$ .

$4 x - 4 + x^{2} = 3$

Passaggio 4.2

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x - 4 + x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $3$ da $- 4$ .

$4 x + x^{2} - 7 = 0$

Passaggio 4.3

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.4

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 4$ e $c = - 7$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 7)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 7$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 28}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.3

Somma $16$ e $28$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.4

Riscrivi $44$ come $2^{2} \cdot 11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $44$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$

Passaggio 4.5.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{11}$

Passaggio 4.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 2 + \sqrt{11}, - 2 - \sqrt{11}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - 2 + \sqrt{11}, - 2 - \sqrt{11}$

Forma decimale:

$x = 1.31662479 \dots, - 5.31662479 \dots$