Algebra Esempi

$\frac{x^{2} (x + 2)}{(x + 2) (x + 1)} \leq 0$

Passaggio 1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 3

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 3.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 5

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 6

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 0$

$x = - 2$

$x = - 1$

Passaggio 7

Consolida le soluzioni.

$x = 0, - 2, - 1$

Passaggio 8

Trova il dominio di $\frac{x^{2} (x + 2)}{(x + 2) (x + 1)}$ .

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Passaggio 8.1

Imposta il denominatore in $\frac{x^{2} (x + 2)}{(x + 2) (x + 1)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$(x + 2) (x + 1) = 0$

Passaggio 8.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 8.2.2

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.2.2.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 8.2.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 8.2.3

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.2.3.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 8.2.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 8.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 2) (x + 1) = 0$ vera.

$x = - 2, - 1$

Passaggio 8.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Passaggio 9

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Passaggio 10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 10.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 4)}^{2} ((- 4) + 2)}{((- 4) + 2) ((- 4) + 1)} \leq 0$

Passaggio 10.1.3

Il lato sinistro di $- 5.\overline{3}$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 10.2

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 1.5$

Passaggio 10.2.2

Sostituisci $x$ con $- 1.5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 1.5)}^{2} ((- 1.5) + 2)}{((- 1.5) + 2) ((- 1.5) + 1)} \leq 0$

Passaggio 10.2.3

Il lato sinistro di $- 4.5$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 10.3

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 0.5$

Passaggio 10.3.2

Sostituisci $x$ con $- 0.5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 0.5)}^{2} ((- 0.5) + 2)}{((- 0.5) + 2) ((- 0.5) + 1)} \leq 0$

Passaggio 10.3.3

Il lato sinistro di $0.5$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 10.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 10.4.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(2)}^{2} ((2) + 2)}{((2) + 2) ((2) + 1)} \leq 0$

Passaggio 10.4.3

Il lato sinistro di $1.\overline{3}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 10.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < - 1$ Vero

$- 1 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Falso

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < - 1$ Vero

$- 1 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Falso

Passaggio 11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 2$ o $- 2 < x < - 1$ o $x = 0$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x < - 2 or - 2 < x < - 1 or x = 0$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - 1) \cup [0, 0]$

Passaggio 13