Algebra Esempi

$2^{x} \cdot 3^{x + 1} = 15$

Passaggio 1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (2^{x} \cdot 3^{x + 1}) = \ln (15)$

Passaggio 2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\ln (2^{x} \cdot 3^{x + 1})$ come $\ln (2^{x}) + \ln (3^{x + 1})$ .

$\ln (2^{x}) + \ln (3^{x + 1}) = \ln (15)$

Passaggio 2.2

Espandi $\ln (2^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (2) + \ln (3^{x + 1}) = \ln (15)$

Passaggio 2.3

Espandi $\ln (3^{x + 1})$ spostando $x + 1$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (2) + (x + 1) \ln (3) = \ln (15)$

Passaggio 3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \ln (2) + x \ln (3) + 1 \ln (3) = \ln (15)$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $\ln (3)$ per $1$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (3) = \ln (15)$

Passaggio 4

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (3) - \ln (15) = 0$

Passaggio 5

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{3}{15}) = 0$

Passaggio 6

Elimina il fattore comune di $3$ e $15$ .

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Passaggio 6.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{3 (1)}{15}) = 0$

Passaggio 6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.1

Scomponi $3$ da $15$ .

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5}) = 0$

Passaggio 6.2.2

Elimina il fattore comune.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5}) = 0$

Passaggio 6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x \ln (2) + x \ln (3) + \ln (\frac{1}{5}) = 0$

Passaggio 7

Sottrai $\ln (\frac{1}{5})$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \ln (2) + x \ln (3) = - \ln (\frac{1}{5})$

Passaggio 8

Scomponi $x$ da $x \ln (2) + x \ln (3)$ .

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Passaggio 8.1

Scomponi $x$ da $x \ln (2)$ .

$x (\ln (2)) + x \ln (3) = - \ln (\frac{1}{5})$

Passaggio 8.2

Scomponi $x$ da $x \ln (3)$ .

$x (\ln (2)) + x (\ln (3)) = - \ln (\frac{1}{5})$

Passaggio 8.3

Scomponi $x$ da $x (\ln (2)) + x (\ln (3))$ .

$x (\ln (2) + \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{5})$

Passaggio 9

Dividi per $\ln (2) + \ln (3)$ ciascun termine in $x (\ln (2) + \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{5})$ e semplifica.

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Passaggio 9.1

Dividi per $\ln (2) + \ln (3)$ ciascun termine in $x (\ln (2) + \ln (3)) = - \ln (\frac{1}{5})$ .

$\frac{x (\ln (2) + \ln (3))}{\ln (2) + \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{\ln (2) + \ln (3)}$

Passaggio 9.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (2) + \ln (3)$ .

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Passaggio 9.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (\ln (2) + \ln (3))}{\ln (2) + \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{\ln (2) + \ln (3)}$

Passaggio 9.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{\ln (2) + \ln (3)}$

Passaggio 9.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 9.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{\ln (2) + \ln (3)}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{\ln (2) + \ln (3)}$

Forma decimale:

$x = 0.89824440 \dots$