Algebra Esempi

$f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ come un'equazione.

$y = x + 2 \sqrt{x - 1}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = y + 2 \sqrt{y - 1}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $y + 2 \sqrt{y - 1} = x$ .

$y + 2 \sqrt{y - 1} = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sqrt{y - 1} = x - y$

Passaggio 3.3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{y - 1})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Passaggio 3.4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y - 1}$ come ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ${(2 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 {(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 {(y - 1)}^{1} = {(x - y)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.4

Semplifica.

$4 (y - 1) = {(x - y)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$4 y + 4 \cdot - 1 = {(x - y)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$4 y - 4 = {(x - y)}^{2}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Semplifica ${(x - y)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.1

Riscrivi ${(x - y)}^{2}$ come $(x - y) (x - y)$ .

$4 y - 4 = (x - y) (x - y)$

Passaggio 3.4.3.1.2

Espandi $(x - y) (x - y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 y - 4 = x (x - y) - y (x - y)$

Passaggio 3.4.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 y - 4 = x \cdot x + x (- y) - y (x - y)$

Passaggio 3.4.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 y - 4 = x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)$

Passaggio 3.4.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 y - 4 = x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)$

Passaggio 3.4.3.1.3.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - y (- y)$

Passaggio 3.4.3.1.3.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y$

Passaggio 3.4.3.1.3.1.4

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.3.1.4.1

Sposta $y$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)$

Passaggio 3.4.3.1.3.1.4.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}$

Passaggio 3.4.3.1.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}$

Passaggio 3.4.3.1.3.1.6

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x + y^{2}$

Passaggio 3.4.3.1.3.2

Sottrai $y x$ da $- x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.3.2.1

Sposta $y$ .

$4 y - 4 = x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}$

Passaggio 3.4.3.1.3.2.2

Sottrai $x y$ da $- x y$ .

$4 y - 4 = x^{2} - 2 x y + y^{2}$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = 4 y - 4$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $4 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - 4 y = - 4$

Passaggio 3.5.3

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - 4 y + 4 = 0$

Passaggio 3.5.4

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.5.5

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2 x - 4$ e $c = x^{2} + 4$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- (- 2 x - 4) \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- (- 2 x) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.4

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.5

Sia $u = 1 \cdot (x^{2} + 4)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $1 \cdot (x^{2} + 4)$ con $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1.5.1

Riscrivi ${(- 2 x - 4)}^{2}$ come $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{(- 2 x - 4) (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.5.2

Espandi $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x - 4) - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.5.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1.5.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.5.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1.5.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.5.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.5.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.5.3.1.4

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.5.3.1.5

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.5.3.1.6

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.5.3.2

Somma $8 x$ e $8 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.6

Scomponi $4$ da $4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1.6.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.6.2

Scomponi $4$ da $16 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.6.3

Scomponi $4$ da $16$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.6.4

Scomponi $4$ da $- 4 u$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.6.5

Scomponi $4$ da $4 (x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.6.6

Scomponi $4$ da $4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.6.7

Scomponi $4$ da $4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (1 \cdot (x^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1.8.1.1

Moltiplica $x^{2} + 4$ per $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.8.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.8.1.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.8.2

Combina i termini opposti in $x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1.8.2.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.8.2.2

Somma $4 x + 4$ e $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.8.2.3

Sottrai $4$ da $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 0)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.8.2.4

Somma $4 x$ e $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.9

Moltiplica $4$ per $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{16 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.10

Riscrivi $16 x$ come ${(2^{2})}^{2} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1.10.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.10.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.11

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{2 x + 4 \pm 2^{2} \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.12

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2}$

Passaggio 3.5.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- (- 2 x) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.4

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.5

Sia $u = 1 \cdot (x^{2} + 4)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $1 \cdot (x^{2} + 4)$ con $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.1.5.1

Riscrivi ${(- 2 x - 4)}^{2}$ come $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{(- 2 x - 4) (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.5.2

Espandi $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.1.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x - 4) - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.5.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.1.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.1.5.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.5.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.1.5.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.5.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.5.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.5.3.1.4

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.5.3.1.5

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.5.3.1.6

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.5.3.2

Somma $8 x$ e $8 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.6

Scomponi $4$ da $4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.1.6.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.6.2

Scomponi $4$ da $16 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.6.3

Scomponi $4$ da $16$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.6.4

Scomponi $4$ da $- 4 u$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.6.5

Scomponi $4$ da $4 (x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.6.6

Scomponi $4$ da $4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.6.7

Scomponi $4$ da $4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (1 \cdot (x^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.1.8.1.1

Moltiplica $x^{2} + 4$ per $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.8.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.8.1.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.8.2

Combina i termini opposti in $x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.1.8.2.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.8.2.2

Somma $4 x + 4$ e $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.8.2.3

Sottrai $4$ da $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 0)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.8.2.4

Somma $4 x$ e $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.9

Moltiplica $4$ per $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{16 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.10

Riscrivi $16 x$ come ${(2^{2})}^{2} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.1.10.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.10.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.11

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{2 x + 4 \pm 2^{2} \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.12

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2}$

Passaggio 3.5.7.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{2 x + 4 + 4 \sqrt{x}}{2}$

Passaggio 3.5.7.4

Elimina il fattore comune di $2 x + 4 + 4 \sqrt{x}$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$y = \frac{2 (x) + 4 + 4 \sqrt{x}}{2}$

Passaggio 3.5.7.4.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$y = \frac{2 (x) + 2 \cdot 2 + 4 \sqrt{x}}{2}$

Passaggio 3.5.7.4.3

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (2)$ .

$y = \frac{2 (x + 2) + 4 \sqrt{x}}{2}$

Passaggio 3.5.7.4.4

Scomponi $2$ da $4 \sqrt{x}$ .

$y = \frac{2 (x + 2) + 2 (2 \sqrt{x})}{2}$

Passaggio 3.5.7.4.5

Scomponi $2$ da $2 (x + 2) + 2 (2 \sqrt{x})$ .

$y = \frac{2 (x + 2 + 2 \sqrt{x})}{2}$

Passaggio 3.5.7.4.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.6.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y = \frac{2 (x + 2 + 2 \sqrt{x})}{2 (1)}$

Passaggio 3.5.7.4.6.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{2 (x + 2 + 2 \sqrt{x})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.4.6.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x + 2 + 2 \sqrt{x}}{1}$

Passaggio 3.5.7.4.6.4

Dividi $x + 2 + 2 \sqrt{x}$ per $1$ .

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

Passaggio 3.5.8

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- (- 2 x) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.4

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.5

Sia $u = 1 \cdot (x^{2} + 4)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $1 \cdot (x^{2} + 4)$ con $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.1.5.1

Riscrivi ${(- 2 x - 4)}^{2}$ come $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{(- 2 x - 4) (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.5.2

Espandi $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.1.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x - 4) - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.5.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.1.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.1.5.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.5.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.1.5.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.5.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.5.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.5.3.1.4

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.5.3.1.5

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.5.3.1.6

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.5.3.2

Somma $8 x$ e $8 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.6

Scomponi $4$ da $4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.1.6.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.6.2

Scomponi $4$ da $16 x$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.6.3

Scomponi $4$ da $16$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.6.4

Scomponi $4$ da $- 4 u$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.6.5

Scomponi $4$ da $4 (x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.6.6

Scomponi $4$ da $4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.6.7

Scomponi $4$ da $4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 \cdot (x^{2} + 4)$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (1 \cdot (x^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.1.8.1.1

Moltiplica $x^{2} + 4$ per $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.8.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.8.1.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.8.2

Combina i termini opposti in $x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.1.8.2.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.8.2.2

Somma $4 x + 4$ e $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.8.2.3

Sottrai $4$ da $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 0)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.8.2.4

Somma $4 x$ e $0$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.9

Moltiplica $4$ per $4$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{16 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.10

Riscrivi $16 x$ come ${(2^{2})}^{2} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.1.10.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.10.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.11

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{2 x + 4 \pm 2^{2} \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.1.12

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2}$

Passaggio 3.5.8.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{2 x + 4 - 4 \sqrt{x}}{2}$

Passaggio 3.5.8.4

Elimina il fattore comune di $2 x + 4 - 4 \sqrt{x}$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.4.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$y = \frac{2 (x) + 4 - 4 \sqrt{x}}{2}$

Passaggio 3.5.8.4.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$y = \frac{2 (x) + 2 \cdot 2 - 4 \sqrt{x}}{2}$

Passaggio 3.5.8.4.3

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (2)$ .

$y = \frac{2 (x + 2) - 4 \sqrt{x}}{2}$

Passaggio 3.5.8.4.4

Scomponi $2$ da $- 4 \sqrt{x}$ .

$y = \frac{2 (x + 2) + 2 (- 2 \sqrt{x})}{2}$

Passaggio 3.5.8.4.5

Scomponi $2$ da $2 (x + 2) + 2 (- 2 \sqrt{x})$ .

$y = \frac{2 (x + 2 - 2 \sqrt{x})}{2}$

Passaggio 3.5.8.4.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.4.6.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y = \frac{2 (x + 2 - 2 \sqrt{x})}{2 (1)}$

Passaggio 3.5.8.4.6.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{2 (x + 2 - 2 \sqrt{x})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.8.4.6.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x + 2 - 2 \sqrt{x}}{1}$

Passaggio 3.5.8.4.6.4

Dividi $x + 2 - 2 \sqrt{x}$ per $1$ .

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

Passaggio 3.5.9

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ è l'inverso di $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ e $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[1, \infty)$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $x + 2 + 2 \sqrt{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[0, \infty)$

Passaggio 5.4

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ non è uguale all'intervallo di $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ , allora $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ non è un inverso di $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ .

Non c'è alcun inverso

Passaggio 6