Algebra Esempi

$\frac{3 x}{x + 2} + \frac{2}{x - 1} = \frac{5}{x^{2} + x - 2}$

Passaggio 1

Scomponi $x^{2} + x - 2$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $1$ .

$- 1, 2$

Passaggio 1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{3 x}{x + 2} + \frac{2}{x - 1} = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x + 2, x - 1, (x - 1) (x + 2)$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $x + 2$ è $x + 2$ stesso.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $x - 1$ è $x - 1$ stesso.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il fattore di $x + 2$ è $x + 2$ stesso.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.8

Il minimo comune multiplo di $x + 2, x - 1, x - 1, x + 2$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(x + 2) (x - 1)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(x + 2) (x - 1)$ ciascun termine in $\frac{3 x}{x + 2} + \frac{2}{x - 1} = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)}$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{3 x}{x + 2} + \frac{2}{x - 1} = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)}$ per $(x + 2) (x - 1)$ .

$\frac{3 x}{x + 2} ((x + 2) (x - 1)) + \frac{2}{x - 1} ((x + 2) (x - 1)) = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)} ((x + 2) (x - 1))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{x + 2} ((x + 2) (x - 1)) + \frac{2}{x - 1} ((x + 2) (x - 1)) = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)} ((x + 2) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3 x (x - 1) + \frac{2}{x - 1} ((x + 2) (x - 1)) = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)} ((x + 2) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + \frac{2}{x - 1} ((x + 2) (x - 1)) = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)} ((x + 2) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1.3.1

Sposta $x$ .

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 + \frac{2}{x - 1} ((x + 2) (x - 1)) = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)} ((x + 2) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + \frac{2}{x - 1} ((x + 2) (x - 1)) = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)} ((x + 2) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 x^{2} - 3 x + \frac{2}{x - 1} ((x + 2) (x - 1)) = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)} ((x + 2) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.5

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

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Passaggio 3.2.1.5.1

Scomponi $x - 1$ da $(x + 2) (x - 1)$ .

$3 x^{2} - 3 x + \frac{2}{x - 1} ((x - 1) (x + 2)) = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)} ((x + 2) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$3 x^{2} - 3 x + \frac{2}{x - 1} ((x - 1) (x + 2)) = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)} ((x + 2) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$3 x^{2} - 3 x + 2 (x + 2) = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)} ((x + 2) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} - 3 x + 2 x + 2 \cdot 2 = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)} ((x + 2) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.7

Moltiplica $2$ per $2$ .

$3 x^{2} - 3 x + 2 x + 4 = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)} ((x + 2) (x - 1))$

Passaggio 3.2.2

Somma $- 3 x$ e $2 x$ .

$3 x^{2} - x + 4 = \frac{5}{(x - 1) (x + 2)} ((x + 2) (x - 1))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $(x + 2) (x - 1)$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $(x + 2) (x - 1)$ da $(x - 1) (x + 2)$ .

$3 x^{2} - x + 4 = \frac{5}{(x + 2) (x - 1) (1)} ((x + 2) (x - 1))$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$3 x^{2} - x + 4 = \frac{5}{(x + 2) (x - 1) \cdot 1} ((x + 2) (x - 1))$

Passaggio 3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$3 x^{2} - x + 4 = 5$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 4.1

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

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Passaggio 4.1.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} - x + 4 - 5 = 0$

Passaggio 4.1.2

Sottrai $5$ da $4$ .

$3 x^{2} - x - 1 = 0$

Passaggio 4.2

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.3

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = - 1$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

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Passaggio 4.4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.4.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Passaggio 4.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.4.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.4.1.3

Somma $1$ e $12$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

Passaggio 4.5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

Forma decimale:

$x = 0.76759187 \dots, - 0.43425854 \dots$