Algebra Esempi

$x^{2} - 10 x - 81 - y^{2} - 18 y + 25$

Passaggio 1

Raggruppa i termini.

$x^{2} - 10 x + 25 - 81 - y^{2} - 18 y$

Passaggio 2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x^{2} - 10 x + 5^{2} - 81 - y^{2} - 18 y$

Passaggio 2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Passaggio 2.3

Riscrivi il polinomio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2} - 81 - y^{2} - 18 y$

Passaggio 2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 5$ .

${(x - 5)}^{2} - 81 - y^{2} - 18 y$

Passaggio 3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.1

Riordina i termini.

${(x - 5)}^{2} - y^{2} - 18 y - 81$

Passaggio 3.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 81 = 81$ e la cui somma è $b = - 18$ .

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $- 18$ da $- 18 y$ .

${(x - 5)}^{2} - y^{2} - 18 (y) - 81$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $- 18$ come $- 9$ più $- 9$ .

${(x - 5)}^{2} - y^{2} + (- 9 - 9) y - 81$

Passaggio 3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

${(x - 5)}^{2} - y^{2} - 9 y - 9 y - 81$

Passaggio 3.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

${(x - 5)}^{2} + (- y^{2} - 9 y) - 9 y - 81$

Passaggio 3.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

${(x - 5)}^{2} + y (- y - 9) + 9 (- y - 9)$

Passaggio 3.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- y - 9$ .

${(x - 5)}^{2} + (- y - 9) (y + 9)$

Passaggio 4

Riscrivi $(y + 9) (y + 9)$ come ${(y + 9)}^{2}$ .

${(x - 5)}^{2} - {(y + 9)}^{2}$

Passaggio 5

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x - 5$ e $b = y + 9$ .

$(x - 5 + y + 9) (x - 5 - (y + 9))$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Somma $- 5$ e $9$ .

$(x + y + 4) (x - 5 - (y + 9))$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$(x + y + 4) (x - 5 - y - 1 \cdot 9)$

Passaggio 6.3

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$(x + y + 4) (x - 5 - y - 9)$

Passaggio 6.4

Sottrai $9$ da $- 5$ .

$(x + y + 4) (x - y - 14)$