Algebra Esempi

$x^{4} - 4 x^{3} + 8 x \geq 0$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{4} - 4 x^{3} + 8 x = 0$

Passaggio 2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $x$ da $x^{4} - 4 x^{3} + 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} - 4 x^{3} + 8 x = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $x$ da $- 4 x^{3}$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + 8 x = 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $x$ da $8 x$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2}) + x \cdot 8 = 0$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{3} + x (- 4 x^{2})$ .

$x (x^{3} - 4 x^{2}) + x \cdot 8 = 0$

Passaggio 2.1.5

Scomponi $x$ da $x (x^{3} - 4 x^{2}) + x \cdot 8$ .

$x (x^{3} - 4 x^{2} + 8) = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $x^{3} - 4 x^{2} + 8$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$2^{3} - 4 \cdot 2^{2} + 8$

Passaggio 2.2.1.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 - 4 \cdot 2^{2} + 8$

Passaggio 2.2.1.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$8 - 4 \cdot 4 + 8$

Passaggio 2.2.1.3.4

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$8 - 16 + 8$

Passaggio 2.2.1.3.5

Sottrai $16$ da $8$ .

$- 8 + 8$

Passaggio 2.2.1.3.6

Somma $- 8$ e $8$ .

$0$

Passaggio 2.2.1.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 8}{x - 2}$

Passaggio 2.2.1.5

Dividi $x^{3} - 4 x^{2} + 8$ per $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$8$

Passaggio 2.2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$

Passaggio 2.2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 2.2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 2.2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Passaggio 2.2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 2.2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 2.2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Passaggio 2.2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Passaggio 2.2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$

Passaggio 2.2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$

Passaggio 2.2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$

Passaggio 2.2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$
							-	$4 x$	+	$8$

Passaggio 2.2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x + 8$

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$
							+	$4 x$	-	$8$

Passaggio 2.2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$4 x$	+	$8$
							+	$4 x$	-	$8$
										$0$

Passaggio 2.2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 2 x - 4$

Passaggio 2.2.1.6

Scrivi $x^{3} - 4 x^{2} + 8$ come insieme di fattori.

$x ((x - 2) (x^{2} - 2 x - 4)) = 0$

Passaggio 2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Passaggio 4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 6

Imposta $x^{2} - 2 x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $x^{2} - 2 x - 4$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $x^{2} - 2 x - 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = - 4$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.3

Somma $4$ e $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.4

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 6.2.3.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Passaggio 6.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.4.1.3

Somma $4$ e $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.4.1.4

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1.4.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 6.2.4.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Passaggio 6.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = 1 + \sqrt{5}$

Passaggio 6.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.5.1.3

Somma $4$ e $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.5.1.4

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 6.2.5.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

Passaggio 6.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = 1 - \sqrt{5}$

Passaggio 6.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x - 2) (x^{2} - 2 x - 4) = 0$ vera.

$x = 0, 2, 1 + \sqrt{5}, 1 - \sqrt{5}$

Passaggio 8

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 1 - \sqrt{5}$

$1 - \sqrt{5} < x < 0$

$0 < x < 2$

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$

$x > 1 + \sqrt{5}$

Passaggio 9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 1 - \sqrt{5}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 1 - \sqrt{5}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 9.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

${(- 4)}^{4} - 4 {(- 4)}^{3} + 8 (- 4) \geq 0$

Passaggio 9.1.3

Il lato sinistro di $480$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 9.2

Testa un valore sull'intervallo $1 - \sqrt{5} < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $1 - \sqrt{5} < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 1$

Passaggio 9.2.2

Sostituisci $x$ con $- 1$ nella diseguaglianza originale.

${(- 1)}^{4} - 4 {(- 1)}^{3} + 8 (- 1) \geq 0$

Passaggio 9.2.3

Il lato sinistro di $- 3$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 9.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1$

Passaggio 9.3.2

Sostituisci $x$ con $1$ nella diseguaglianza originale.

${(1)}^{4} - 4 {(1)}^{3} + 8 (1) \geq 0$

Passaggio 9.3.3

Il lato sinistro di $5$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 9.4

Testa un valore sull'intervallo $2 < x < 1 + \sqrt{5}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $2 < x < 1 + \sqrt{5}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 9.4.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

${(3)}^{4} - 4 {(3)}^{3} + 8 (3) \geq 0$

Passaggio 9.4.3

Il lato sinistro di $- 3$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 9.5

Testa un valore sull'intervallo $x > 1 + \sqrt{5}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1 + \sqrt{5}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 9.5.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

${(6)}^{4} - 4 {(6)}^{3} + 8 (6) \geq 0$

Passaggio 9.5.3

Il lato sinistro di $480$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 9.6

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 1 - \sqrt{5}$ Vero

$1 - \sqrt{5} < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Vero

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$ Falso

$x > 1 + \sqrt{5}$ Vero

$x < 1 - \sqrt{5}$ Vero

$1 - \sqrt{5} < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Vero

$2 < x < 1 + \sqrt{5}$ Falso

$x > 1 + \sqrt{5}$ Vero

Passaggio 10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq 1 - \sqrt{5}$ o $0 \leq x \leq 2$ o $x \geq 1 + \sqrt{5}$

Passaggio 11

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, 1 - \sqrt{5}] \cup [0, 2] \cup [1 + \sqrt{5}, \infty)$

Passaggio 12