Algebra Esempi

$f (x) = x^{2} - 4 x^{2}$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai $4 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$y = - 3 x^{2}$

Passaggio 1.1.2

Completa il quadrato per $- 3 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 3$

$b = 0$

$c = 0$

Passaggio 1.1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 1.1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 3$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- 3)}$

Passaggio 1.1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot - 3}$

Passaggio 1.1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 1.1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $0$ e $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$d = \frac{3 (0)}{- 3}$

Passaggio 1.1.2.3.2.2.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.3.2.3

Riscrivi $- 1 \cdot 0$ come $- 0$ .

$d = - 0$

Passaggio 1.1.2.3.2.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$d = 0$

Passaggio 1.1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 3}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 \cdot - 3}$

Passaggio 1.1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$e = 0 - \frac{0}{- 12}$

Passaggio 1.1.2.4.2.1.3

Dividi $0$ per $- 12$ .

$e = 0 - 0$

Passaggio 1.1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e = 0 + 0$

Passaggio 1.1.2.4.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$e = 0$

Passaggio 1.1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2}$

Passaggio 1.1.3

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = - 3 x^{2}$

Passaggio 1.2

Usa la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 3$

$h = 0$

$k = 0$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola si apre in basso.

Si apre in basso

Passaggio 1.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Passaggio 1.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola usando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

Passaggio 1.5.3

Semplifica.

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Passaggio 1.5.3.1

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$\frac{1}{- 12}$

Passaggio 1.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{12}$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

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Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, - \frac{1}{12})$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la retta che passa per il vertice e il fuoco.

$x = 0$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

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Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = \frac{1}{12}$

Passaggio 1.9

Usa le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(0, 0)$

Fuoco: $(0, - \frac{1}{12})$

Asse di simmetria: $x = 0$

Direttrice: $y = \frac{1}{12}$

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(0, 0)$

Fuoco: $(0, - \frac{1}{12})$

Asse di simmetria: $x = 0$

Direttrice: $y = \frac{1}{12}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

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Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = - 3 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = - 3 \cdot 1$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f (- 1) = - 3$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 2.3

Il valore $y$ con $x = - 1$ è $- 3$ .

$y = - 3$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = - 3 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.5.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = - 3 \cdot 4$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$f (- 2) = - 12$

Passaggio 2.5.3

La risposta finale è $- 12$ .

$- 12$

Passaggio 2.6

Il valore $y$ con $x = - 2$ è $- 12$ .

$y = - 12$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = - 3 {(1)}^{2}$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.8.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = - 3 \cdot 1$

Passaggio 2.8.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f (1) = - 3$

Passaggio 2.8.3

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 2.9

Il valore $y$ con $x = 1$ è $- 3$ .

$y = - 3$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = - 3 {(2)}^{2}$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.11.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = - 3 \cdot 4$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$f (2) = - 12$

Passaggio 2.11.3

La risposta finale è $- 12$ .

$- 12$

Passaggio 2.12

Il valore $y$ con $x = 2$ è $- 12$ .

$y = - 12$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 12 \\ - 1 & - 3 \\ 0 & 0 \\ 1 & - 3 \\ 2 & - 12 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(0, 0)$

Fuoco: $(0, - \frac{1}{12})$

Asse di simmetria: $x = 0$

Direttrice: $y = \frac{1}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 12 \\ - 1 & - 3 \\ 0 & 0 \\ 1 & - 3 \\ 2 & - 12 \end{array}$

Passaggio 4