Algebra Esempi

$\sqrt{8 - p} = 2 + \sqrt{2 p + 3}$

Passaggio 1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{8 - p}}^{2} = {(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{8 - p}$ come ${(8 - p)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(8 - p)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ${({(8 - p)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(8 - p)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 - p)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(8 - p)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(8 - p)}^{1} = {(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

$8 - p = {(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ${(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi ${(2 + \sqrt{2 p + 3})}^{2}$ come $(2 + \sqrt{2 p + 3}) (2 + \sqrt{2 p + 3})$ .

$8 - p = (2 + \sqrt{2 p + 3}) (2 + \sqrt{2 p + 3})$

Passaggio 2.3.1.2

Espandi $(2 + \sqrt{2 p + 3}) (2 + \sqrt{2 p + 3})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 - p = 2 (2 + \sqrt{2 p + 3}) + \sqrt{2 p + 3} (2 + \sqrt{2 p + 3})$

Passaggio 2.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$8 - p = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2 p + 3} + \sqrt{2 p + 3} (2 + \sqrt{2 p + 3})$

Passaggio 2.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$8 - p = 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{2 p + 3} + \sqrt{2 p + 3} \cdot 2 + \sqrt{2 p + 3} \sqrt{2 p + 3}$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + \sqrt{2 p + 3} \cdot 2 + \sqrt{2 p + 3} \sqrt{2 p + 3}$

Passaggio 2.3.1.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{2 p + 3}$ .

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \cdot \sqrt{2 p + 3} + \sqrt{2 p + 3} \sqrt{2 p + 3}$

Passaggio 2.3.1.3.1.3

Moltiplica $\sqrt{2 p + 3} \sqrt{2 p + 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.3.1

Eleva $\sqrt{2 p + 3}$ alla potenza di $1$ .

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {\sqrt{2 p + 3}}^{1} \sqrt{2 p + 3}$

Passaggio 2.3.1.3.1.3.2

Eleva $\sqrt{2 p + 3}$ alla potenza di $1$ .

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {\sqrt{2 p + 3}}^{1} {\sqrt{2 p + 3}}^{1}$

Passaggio 2.3.1.3.1.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {\sqrt{2 p + 3}}^{1 + 1}$

Passaggio 2.3.1.3.1.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {\sqrt{2 p + 3}}^{2}$

Passaggio 2.3.1.3.1.4

Riscrivi ${\sqrt{2 p + 3}}^{2}$ come $2 p + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 p + 3}$ come ${(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {({(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.3.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {(2 p + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 2.3.1.3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {(2 p + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.3.1.3.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {(2 p + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.3.1.3.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + {(2 p + 3)}^{1}$

Passaggio 2.3.1.3.1.4.5

Semplifica.

$8 - p = 4 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 p + 3$

Passaggio 2.3.1.3.2

Somma $4$ e $3$ .

$8 - p = 7 + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 \sqrt{2 p + 3} + 2 p$

Passaggio 2.3.1.3.3

Somma $2 \sqrt{2 p + 3}$ e $2 \sqrt{2 p + 3}$ .

$8 - p = 7 + 4 \sqrt{2 p + 3} + 2 p$

Passaggio 3

Risolvi per $4 \sqrt{2 p + 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $7 + 4 \sqrt{2 p + 3} + 2 p = 8 - p$ .

$7 + 4 \sqrt{2 p + 3} + 2 p = 8 - p$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $4 \sqrt{2 p + 3}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 \sqrt{2 p + 3} + 2 p = 8 - p - 7$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $2 p$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 \sqrt{2 p + 3} = 8 - p - 7 - 2 p$

Passaggio 3.2.3

Sottrai $7$ da $8$ .

$4 \sqrt{2 p + 3} = - p + 1 - 2 p$

Passaggio 3.2.4

Sottrai $2 p$ da $- p$ .

$4 \sqrt{2 p + 3} = - 3 p + 1$

Passaggio 4

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(4 \sqrt{2 p + 3})}^{2} = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Passaggio 5

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 p + 3}$ come ${(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(4 {(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ${(4 {(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $4 {(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4^{2} {({(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$16 {({(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 p + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(2 p + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$16 {(2 p + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$16 {(2 p + 3)}^{1} = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.4

Semplifica.

$16 (2 p + 3) = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$16 (2 p) + 16 \cdot 3 = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.6

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.6.1

Moltiplica $2$ per $16$ .

$32 p + 16 \cdot 3 = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.6.2

Moltiplica $16$ per $3$ .

$32 p + 48 = {(- 3 p + 1)}^{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica ${(- 3 p + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Riscrivi ${(- 3 p + 1)}^{2}$ come $(- 3 p + 1) (- 3 p + 1)$ .

$32 p + 48 = (- 3 p + 1) (- 3 p + 1)$

Passaggio 5.3.1.2

Espandi $(- 3 p + 1) (- 3 p + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$32 p + 48 = - 3 p (- 3 p + 1) + 1 (- 3 p + 1)$

Passaggio 5.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$32 p + 48 = - 3 p (- 3 p) - 3 p \cdot 1 + 1 (- 3 p + 1)$

Passaggio 5.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$32 p + 48 = - 3 p (- 3 p) - 3 p \cdot 1 + 1 (- 3 p) + 1 \cdot 1$

Passaggio 5.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$32 p + 48 = - 3 \cdot - 3 p \cdot p - 3 p \cdot 1 + 1 (- 3 p) + 1 \cdot 1$

Passaggio 5.3.1.3.1.2

Moltiplica $p$ per $p$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1.2.1

Sposta $p$ .

$32 p + 48 = - 3 \cdot - 3 (p \cdot p) - 3 p \cdot 1 + 1 (- 3 p) + 1 \cdot 1$

Passaggio 5.3.1.3.1.2.2

Moltiplica $p$ per $p$ .

$32 p + 48 = - 3 \cdot - 3 p^{2} - 3 p \cdot 1 + 1 (- 3 p) + 1 \cdot 1$

Passaggio 5.3.1.3.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$32 p + 48 = 9 p^{2} - 3 p \cdot 1 + 1 (- 3 p) + 1 \cdot 1$

Passaggio 5.3.1.3.1.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$32 p + 48 = 9 p^{2} - 3 p + 1 (- 3 p) + 1 \cdot 1$

Passaggio 5.3.1.3.1.5

Moltiplica $- 3 p$ per $1$ .

$32 p + 48 = 9 p^{2} - 3 p - 3 p + 1 \cdot 1$

Passaggio 5.3.1.3.1.6

Moltiplica $1$ per $1$ .

$32 p + 48 = 9 p^{2} - 3 p - 3 p + 1$

Passaggio 5.3.1.3.2

Sottrai $3 p$ da $- 3 p$ .

$32 p + 48 = 9 p^{2} - 6 p + 1$

Passaggio 6

Risolvi per $p$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $p$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$9 p^{2} - 6 p + 1 = 32 p + 48$

Passaggio 6.2

Sposta tutti i termini contenenti $p$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sottrai $32 p$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 p^{2} - 6 p + 1 - 32 p = 48$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $32 p$ da $- 6 p$ .

$9 p^{2} - 38 p + 1 = 48$

Passaggio 6.3

Sottrai $48$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 p^{2} - 38 p + 1 - 48 = 0$

Passaggio 6.4

Sottrai $48$ da $1$ .

$9 p^{2} - 38 p - 47 = 0$

Passaggio 6.5

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 9 \cdot - 47 = - 423$ e la cui somma è $b = - 38$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.1

Scomponi $- 38$ da $- 38 p$ .

$9 p^{2} - 38 p - 47 = 0$

Passaggio 6.5.1.2

Riscrivi $- 38$ come $9$ più $- 47$ .

$9 p^{2} + (9 - 47) p - 47 = 0$

Passaggio 6.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$9 p^{2} + 9 p - 47 p - 47 = 0$

Passaggio 6.5.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(9 p^{2} + 9 p) - 47 p - 47 = 0$

Passaggio 6.5.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$9 p (p + 1) - 47 (p + 1) = 0$

Passaggio 6.5.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $p + 1$ .

$(p + 1) (9 p - 47) = 0$

Passaggio 6.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$p + 1 = 0$

$9 p - 47 = 0$

Passaggio 6.7

Imposta $p + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $p$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Imposta $p + 1$ uguale a $0$ .

$p + 1 = 0$

Passaggio 6.7.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$p = - 1$

Passaggio 6.8

Imposta $9 p - 47$ uguale a $0$ e risolvi per $p$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Imposta $9 p - 47$ uguale a $0$ .

$9 p - 47 = 0$

Passaggio 6.8.2

Risolvi $9 p - 47 = 0$ per $p$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.1

Somma $47$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 p = 47$

Passaggio 6.8.2.2

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 p = 47$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 p = 47$ .

$\frac{9 p}{9} = \frac{47}{9}$

Passaggio 6.8.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 p}{9} = \frac{47}{9}$

Passaggio 6.8.2.2.2.1.2

Dividi $p$ per $1$ .

$p = \frac{47}{9}$

Passaggio 6.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(p + 1) (9 p - 47) = 0$ vera.

$p = - 1, \frac{47}{9}$

Passaggio 7

Escludi le soluzioni che non rendono $\sqrt{8 - p} = 2 + \sqrt{2 p + 3}$ vera.

$p = - 1$