Algebra Esempi

$f (x) = \arcsin (\cos (x))$

Passaggio 1

Imposta l'argomento in $\arcsin (\cos (x))$ in modo che sia maggiore o uguale a $- 1$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\cos (x) \geq - 1$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x \geq \arccos (- 1)$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (- 1)$ è $π$ .

$x \geq π$

Passaggio 2.3

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - π$

Passaggio 2.4

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = π$

Passaggio 2.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.7

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$π < x < 3 π$

Passaggio 2.8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Testa un valore sull'intervallo $π < x < 3 π$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $π < x < 3 π$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 2.8.1.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\cos (6) \geq - 1$

Passaggio 2.8.1.3

Il lato sinistro di $0.96017028$ è maggiore del lato destro di $- 1$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.8.2

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$π < x < 3 π$ Vero

Passaggio 2.9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$π + 2 π n \leq x \leq 3 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Imposta l'argomento in $\arcsin (\cos (x))$ in modo che sia minore o uguale a $1$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\cos (x) \leq 1$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x \leq \arccos (1)$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Il valore esatto di $\arccos (1)$ è $0$ .

$x \leq 0$

Passaggio 4.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Passaggio 4.4

Sottrai $0$ da $2 π$ .

$x = 2 π$

Passaggio 4.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.7

Consolida le risposte.

$x = 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.8

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$0 < x < 2 π$

Passaggio 4.9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 2 π$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 2 π$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 4.9.1.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$\cos (3) \leq 1$

Passaggio 4.9.1.3

Il lato sinistro di $- 0.98999249$ è minore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 4.9.2

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$0 < x < 2 π$ Vero

Passaggio 4.10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 + 2 π n \leq x \leq 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione intensiva:

${x | x = π + 2 π n, x = 3 π + 2 π n, x = 0 + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Notazione intensiva:

${y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Passaggio 7

Determina il dominio e l'intervallo.

Dominio: ${x | x = π + 2 π n, x = 3 π + 2 π n, x = 0 + 2 π n, x = 2 π + 2 π n}$ , per qualsiasi intero $n$

Intervallo: $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], {y | - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}}$

Passaggio 8